Courbe étudiée par Dioclès, 180 av. J.C. ; Fermat ; Huygens. Du grec Kissos : lierre, en lien probablement avec les nervures...  Dioclès (IIème siècle av. J.C.) : mathématicien grec.

Équation polaire :  . Équation cartésienne :  .  Cubique circulaire rationnelle à point de rebroussement. Paramétrisation cartésienne rationnelle : , soit  (avec t = tanq). Angle tangentiel cartésien :  . Abscisse curviligne :  . Rayon de courbure :  . Aire entre la courbe et son asymptote :  .

La construction la plus simple de la cissoïde droite se fait par double projection sur 2 droites parallèles : étant donnés deux droites parallèles (T) et (T ') et un point O de (T '), un point variable P de (T) se projette en Q sur (T'), lequel se projette en M sur (OP) : la cissoïde droite est le lieu de M.

Comme toute cubique circulaire rationnelle, la cissoïde de Dioclès peut être définie comme :
 - la cissoïdale de pôle O d’un cercle de rayon R passant par O et d’une droite parallèle à la tangente en O distante de 2R du cercle (ici (C) est le cercle de diamètre [OA] avec A(-a,0)).
 

construction par médiane cercle droite

construction cissoïdale équivalente

 - la podaire d’une parabole par rapport à son sommet (ici la parabole de sommet O et de foyer F, symétrique de A par rapport à O).

 - l’inverse d’une parabole par rapport à son sommet (ici la parabole de sommet O et de foyer A, le cercle d'inversion étant le cercle de centre O passant par A).

Comme toute cubique circulaire rationnelle droite, on peut lui appliquer la méthode de l'équerre de Newton : étant donnés un point fixe S et une droite fixe (T"), si un segment [PQ] de longueur constante égale à la distance entre S et (T") se déplace de sorte que Q décrive (T") et que  l'angle SPQ soit droit, le milieu M de [PQ] trace une cissoïde de Dioclès (tandis que P trace une strophoïde droite). La droite (T") est ici la droite x = a/2 et S (-a/2, 0).

Elle peut encore être définie comme :
 - le lieu du sommet d’une parabole roulant sans glisser sur une parabole isométrique, les deux paraboles étant extérieures l’une à l’autre, et les sommets venant en contact (voir à orthotomique).

-  le lieu du foyer d'une parabole variable de sommet fixé et passant par un point fixé (voir à glissette).

 - l’orthocaustique d'une cardioïde par rapport à son sommet (ici, cardioïde de point de rebroussement (a, 0) et de sommet (4a, 0)).

Elle est enfin également un cas particulier d'ophiuride.
 

La cissoïde de Dioclès est une duplicatrice : si B est le point de coordonnées (0, 2a) et C le point d'intersection de (C) avec (AB), les coordonnées du point X d'intersection de (OC) avec (T) sont (a,  ).

 

La développée de la cissoïde droite est la quartique polynomiale . Figure à ne pas confondre avec celle de la tractrice et de sa développée la chaînette.

Sa polaire par rapport au cercle de centre O et de rayon a est une parabole semi-cubique : .

 

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courbe précédente

courbes 2D

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surfaces

fractals

polyèdres

© Robert FERRÉOL, Jacques MANDONNET 2008