Notion étudiée par Whithney en 1937 et par Arnold en 1994. Source : Marcel Berger, La taxonomie des courbes,  Pour la Science N°297, Juillet 2002.

Une courbe (fermée) générique (au sens d'Arnold) est une classe d'équivalence de courbes fermées du plan dont tous les points multiples sont doubles à tangentes distinctes, deux courbes étant identifiées si elles sont image l'une de l'autre par un difféomorphisme du plan. Cette notion est une généralisation de celle de courbe de Jordan au cas où les courbes ont des points de croisement.

Par courbe fermée on entend ici l'image C de [0,1] par une application f de [0,1] dans le plan, de classe C¹, de dérivée jamais nulle, telle que f(0) = f(1) et f'(0)=f'(1). La condition des points multiples à tangentes distinctes s'écrit : pour tout point M de C il existe soit une, soit deux valeurs t₁ et t₂ de [0,1[ telles que f(t₁) = f(t₁) et dans ce dernier cas,  sont non colinéaires.
 
 

Les représentants d'une même courbe générique ont un même nombre fini n de points doubles ; ils déterminent n + 2 régions dans le plan, et la courbe est réunion de 2n arcs joignant deux points doubles consécutifs. Un autre invariant est l'indice de rotation (voir les notations) mesurant le nombre de fois que la tangente fait un tour complet sur elle-même. On démontre que  et que n et N ont parité contraire. Ces propriétés sont conséquence du résultat suivant (formule de Whithney) : un parcours étant choisi sur la courbe, un point double est décrété positif si lors du deuxième passage à ce point double, le premier passage s'était fait de gauche à droite, et négatif sinon ; si n+ est le nombre de points doubles positifs et n- le nombre de points doubles négatifs, N = |n+ - n-| +- 1.

n = 6 points doubles, 8 régions, 12 arcs. Indice de rotation N = 3 = |2 - 4|+1

Voir à courbe de Goursat la classification des courbes génériques ayant les symétries d'un polygone régulier.
 

courbe suivante

courbe précédente

courbes 2D

courbes 3D

surfaces

fractals

polyèdres

© Robert FERRÉOL  2011