Courbe de giration

COURBE DE GIRATION CONSTANTE

Courbe étudiée par moi-même suite à une question de Franck Rolland.
Animation ci-dessus réalisée par Alain Esculier.

1) Courbe des roues avant :
Paramétrisation cartésienne :

où t est l'angle de braquage des roues avant, le nombre k est égal à

où a est la distance entre les roues avant et arrière, w est la vitesse angulaire de braquage des roues avant et v la vitesse du véhicule:
Abscisse curviligne :

, angle tangentiel cartésien :

, rayon de courbure :

.
Équation intrinsèque 1 :

, équation intrinsèque 2 :

2) Courbe des roues arrière : où t est toujours l'angle de braquage des roues avant.
Abscisse curviligne : ; rayon de courbure : , équation intrinsèque 1 : .
Courbes transcendantes.

La courbe de giration constante est la courbe décrite par les roues avant d'une voiture (mieux, d'un vélo) roulant à vitesse constante dont le conducteur tourne le volant à vitesse constante.

Plus précisément, c'est la courbe telle qu'une droite (D) passant par un point M de la courbe et faisant un angle avec la tangente proportionnel à l'abscisse curviligne ( (D) est l'axe de la voiture et le point M, les roues avant) reste tangente à une courbe en un point N (les roues arrières) situé à une distance constante de M.

C'est donc aussi la courbe dont la tractoire est telle que la laisse fait un angle avec la tangente qui est proportionnel à l'abscisse curviligne.

Voici quelques animations du mouvement pour une rotation complète du volant, avec une vitesse de rotation croissante.

k = 0,1

k = 0,2
k = 0,3

k = 0,4
k = 1

k = 5

On peut remarquer que si la courbe des roues avant se reproduit à l'identique après que le volant ait fait un tour complet, celle des roues arrière se reproduit seulement après un demi-tour.

Evolution de la courbe sur deux périodes pour k croisant de 0,1 à 1 puis ci-desous de 1 à 5 (vitesse de rotation du volant croissante).
On remarquera un sorte de déroulement de la clothoïde jusqu'à devenir une sorte de cycloïde allongée.

Pour k tendant vers 0, la courbe de giration constante s'identifie à la clothoïde :

La courbe est fermée pour les valeurs de k telles que (et alors ), comme par exemple k = 0,261 ci-dessous

Démonstration de l'obtention de l'équation intrinsèque ci-dessus :

Roues avant : abscisse curviligne s ; angle tangentiel cartésien :
Roues arrières : (angle de braquage = , a = distance entre les roues avant et les roues arrière)
Rappels : où R_c est le rayon de courbure, et .
La colinéarité de la vitesse des roues arrière avec s’exprime alors par
Soit qui se simplifie bien en .

On peut généraliser le problème au cas d'une loi de variation de l'angle de braquage quelconque ; voici par exemple une animation du cas d'une loi sinusoïdale :

courbe suivante courbe précédente courbes 2D courbes 3D surfaces fractals polyèdres