Lemniscate de Bernoulli

LEMNISCATE DE BERNOULLI
Lemniscate of Bernouilli, Bernouillische Lemniskate

Courbe étudiée par Jacques Bernoulli en 1694 et Fagnano en 1750.
Jacques Bernoulli (1654 -1705) : mathématicien suisse.

Équation bipolaire : (où d est la demi-distance entre les pôles F et F', foyers de la lemniscate).
Équation tripolaire : (O milieu de F et F').
Équation polaire : (avec , F(d, 0), F'(-d,0)).
Équation cartésienne : .
Quartique bicirculaire rationnelle.
Paramétrisation cartésienne : ().
Paramétrisation cartésienne rationnelle : (, ),
soit en complexes : .
Autre paramétrisation cartésienne : ().
Paramétrisation cartésienne de la courbe complexifiée : .
Équation complexe : .
Équation podaire : .
Angle tangentiel polaire : .
Abscisse curviligne : .
Rayon de courbure : .
Equation intrinsèque : .
Longueur : , où , intégrale elliptique de première espèce, est la constante de la lemniscate (prononcer "pi script"), à rapprocher de .
On a aussi :
. Aire totale : a².

La lemniscate de Bernoulli dispute à la cardioïde le record du nombre d'appartenances aux diverses familles de courbes remarquables.
Elle est en effet :
     - un cas particulier d'ovale de Cassini (voir l’équation bipolaire)
     - un cas particulier de courbe de Booth.
     - un cas particulier de spirale sinusoïdale (voir l’équation polaire)
     - comme toute quartique bicirculaire rationnelle : à la fois podaire par rapport à O et inverse (cercle d'inversion de diamètre [A(a,0) ; A'(-a,0)]) de l’hyperbole équilatère de centre O et de sommets A et A' ; F et F' sont les inverses des foyers de cette hyperbole et les tangentes à l'origine, les inverses des asymptotes.

- c'est donc aussi, en tant que podaire, l’enveloppe des cercles de diamètre d'extrémités son centre et un point de cette hyperbole.

- ainsi que le lieu du centre d'une hyperbole roulant sans glisser sur une hyperbole égale, avec des sommets coïncidants.

- la cissoïdale du cercle de centre F passant par O et du cercle de centre et de rayon a.
- la cissoïdale de pôle O des cercles (C) et (C') de centres F et F' et de rayon a/2.

En pointillé les cercles (C) et (C'), en bleu leurs homothétiques dont la lemniscate est la médiane.

- le lieu des milieux des segments de longueur 2d dont les extrémités décrivent les deux cercles de rayon a centrés en F et F'.

La lemniscate est donc une courbe du trois-barre, dans le cas particulier de la courbe de Watt ; d'après le principe de l'échange bielle manivelle, il existe une deuxième construction avec quadrilatère articulé :

- la section d'un tore, de rayon de révolution d et de rayon de méridienne d/2, par un plan situé à une distance d/2 de l'axe (la lemniscate est donc une spirique de Perseus)

La lemniscate est aussi le lieu des points M tels que

,
ainsi que la projection sur le plan xOy de la biquadratique :

, intersection d'un cône de révolution et d'un paraboloïde de révolution :

Les courbes asymptotiques du conoïde de Plücker se projettent suivant des lemniscates de Bernoulli.

La lemniscate de Bernoulli est une courbe synodale de toutes ses sécantes issues du point double :

Comparer enfin avec la lemniscate de Gerono.

Familles de lemniscates orthogonales

Voir ici comment "épaissir" une lemniscate:.

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