Néphroide

NÉPHROÏDE
Nephroid, Nierenkurve

Courbe étudiée par Huygens, Tschirnhausen en 1679, Jacques Bernoulli en 1692, Daniel Bernoulli en 1725 et Proctor qui a donné le nom en 1878.
Du grec nephros "rein".

Paramétrisation complexe : .
Paramétrisation cartésienne : .
Équation cartésienne : .
Sextique rationnelle.
Équation polaire : .
Abscisse curviligne : .
Angle tangentiel cartésien : .
Rayon de courbure : .
Équation intrinsèque 1 : .
Équation intrinsèque 2 : .
Équation podaire : .
Longueur : 12 a ; aire : 3pa².

La néphroïde est une épicycloïde à deux rebroussements (cercle de rayon a/2 roulant à l'extérieur d'un cercle (C) de rayon a).

C’est donc aussi
- une péricycloïde (cercle de rayon 3a/2 roulant sur le cercle (C), en le contenant) :

Animation de la double génération

- l'enveloppe d'un diamètre d'un cercle de rayon a roulant sans glisser sur et extérieurement à (C).

- l'enveloppe d'une corde (PQ) du cercle de centre O et de rayon 2a (cercle circonscrit à la néphroïde), P et Q parcourant ce cercle dans le même sens, l’un ayant une vitesse triple de l’autre (génération de Cremona).

Ci-dessus, le point n est relié au point 3n modulo 30.

La néphroïde est aussi :
- l’enveloppe des cercles centré sur un cercle (ici, (C)) et tangents à l’un de ses diamètres (ici Ox).

- une caustique par réflexion de cercle (ici, (C)) avec source lumineuse à l’infini (ici, les rayons incidents parallèles à Ox).

C'est cette propriété qui fait apparaître une demi-néphroïde dans votre tasse de café, ou ici dans une casserole de lait :

Voir aussi à cardioïde.

- une caustique par réflexion de cardioïde, la source lumineuse se trouvant au point de rebroussement de la cardioïde. C'est donc aussi la développée de la sextique de Cayley, qui est son orthotomique (ou sa podaire).

- une antipodaire de la rosace r = 2a sin q/2 :

Comme pour toute courbe cycloïdale, sa développée est une courbe semblable, image par la similitude de centre O , de rapport 1/2 et d'angle p/2.

L'une des développantes est donc une néphroïde ; en voici deux autres :

Voir aussi :
http://poncelet.math.nthu.edu.tw/disk3/cabrijava/deltoid-in-nephroid.html

Le vrai rein ne possède, lui, qu'un axe de symétrie...

courbe suivante courbe précédente courbes 2D courbes 3D surfaces fractals polyèdres