Courbes ornementales

COURBES ORNEMENTALES
Decorative curves, Dekorative Kurven

Nous répertorions ici quelques courbes dont l'intérêt est moins mathématique que de reproduire des formes existantes.

Voir déjà la goutte d'eau, le poisson, la torpille, la bouche, la pinochoïde, la croix de Malte.

Trèfle de Brocard (1894, Loria p. 345)
Pour 3 feuilles :
implicitplot((x^2+y^2-4*x*(x^2-3*y^2)/(x^2+y^2)+4)-
(x^2+y^2-3*x*(x^2-3*y^2)/(x^2+y^2)+2)^2,x=-2..3,y=-2.4..2.4);
Pour 4 feuilles :
implicitplot((x^2+y^2-4*(x^2-y^2)^2/(x^2+y^2)^(3/2)+4)
-(x^2+y^2-3*(x^2-y^2)^2/(x^2+y^2)^(3/2)+2)^2,x=-2.5..2.5,y=-2.5..2.5);

La courbe n'est pas très ressemblante, mais l'idée de Brocard est intéressante : il est parti de la cardioïde : , est passé en coordonnées cartésiennes : , a placé le centre du repère au sommet : , est revenu en polaires : , puis a changé q en nq : , ce qui donne une courbe à n feuilles issues de la cardioïde, que je désignerais par "multicardioïde".

Trèfle de Habenicht (1895, Brocard p. 100)
Équation polaire :
Ci-contre, pour n = 3 et 4.
Voir d'autres trèfles au bas de la page du quadrifolium.

Coeur de Raphaël Laporte (1993)
Courbe trouvée par l'auteur à l'âge de 16 ans pour sa petite amie...
Paramétrisation cartésienne :
Equation cartésienne :
x^8-x^6+27*x^4-27*x^2+12*y*x^6-12*y*x^4+42*y^2*x^4+42*y^2*x^2+2*y^3*x^4+26*y^3*x^2+8*y^3+12*y^4*x^2+12*y^4+6*y^5+y^6

Coeur de Dwight Boddorf (2008)
Equation polaire :
Pour un répertoire des courbes en forme de coeur :
www.mathematische-basteleien.de/heart.htm
mathworld.wolfram.com/HeartCurve.html

Oeuf d'Ehrhart (1957)
Équation ponctuelle :
Je ne connais pas les paramètres originels choisis par Ehrahrt (qui affirmait qu'avec ces paramètres, la courbe coïncide à la grosseur du trait de crayon près avec la forme de l'oeuf obtenue par une étude statistique).
Ici, A = (0 ; 0), B = (0 ; 0,2), C = (0 ; 1), cte = 2,2.
Ehrahrt dénommait ces courbes "hyperellipses à 3 foyers".
Voir aussi l'oeuf de Kepler et les foliums droits.
Pour un répertoire des courbes en forme d'oeuf :
http://www.mathematische-basteleien.de/eggcurves.htm

Noeud de papillon
Équation polaire : .
Équation cartésienne :
ou
Paraboles asymptotes (en vert ) : .
Variante : , soit dont la partie en huit est la lemniscate de Gérono.

Papillon de T. Fay (1989)
Équation polaire :
(à droite ).
Voir aussi le papillon de Cundy et Rollett.

Swastika (Cundy et Rollet)
Équation polaire :
Équation cartésienne :

Courbe du Ying et du Yang
Équation polaire : pour (ci-contre avec a = p/2), plus le cercle .
Variante avec cercle asymptote à droite :
, soit , avec a = 1/2.
R. Ferréol (2006)

Soucoupe volante
Prendre deux courbes du style , par exemple et faire tourner autour de l'axe de symétrie.
Voir aussi ici.

Voir aussi la courbe à méandres et la courbe élastique.

courbe suivante courbe précédente courbes 2D courbes 3D surfaces fractals polyèdres

Trèfle de Brocard (1894, Loria p. 345) Pour 3 feuilles : implicitplot((x^2+y^2-4x(x^2-3y^2)/(x^2+y^2)+4)- (x^2+y^2-3x(x^2-3y^2)/(x^2+y^2)+2)^2,x=-2..3,y=-2.4..2.4); Pour 4 feuilles : implicitplot((x^2+y^2-4(x^2-y^2)^2/(x^2+y^2)^(3/2)+4) -(x^2+y^2-3(x^2-y^2)^2/(x^2+y^2)^(3/2)+2)^2,x=-2.5..2.5,y=-2.5..2.5); La courbe n'est pas très ressemblante, mais l'idée de Brocard est intéressante : il est parti de la cardioïde : , est passé en coordonnées cartésiennes : , a placé le centre du repère au sommet : , est revenu en polaires : , puis a changé q en nq : , ce qui donne une courbe à n feuilles issues de la cardioïde, que je désignerais par "multicardioïde".
Trèfle de Habenicht (1895, Brocard p. 100) Équation polaire : Ci-contre, pour n = 3 et 4. Voir d'autres trèfles au bas de la page du quadrifolium.
Coeur de Raphaël Laporte (1993) Courbe trouvée par l'auteur à l'âge de 16 ans pour sa petite amie... Paramétrisation cartésienne : Equation cartésienne : x^8-x^6+27x^4-27x^2+12yx^6-12yx^4+42y^2x^4+42y^2x^2+2y^3x^4+26y^3x^2+8y^3+12y^4x^2+12y^4+6*y^5+y^6 Coeur de Dwight Boddorf (2008) Equation polaire : Pour un répertoire des courbes en forme de coeur : www.mathematische-basteleien.de/heart.htm mathworld.wolfram.com/HeartCurve.html
Oeuf d'Ehrhart (1957) Équation ponctuelle : Je ne connais pas les paramètres originels choisis par Ehrahrt (qui affirmait qu'avec ces paramètres, la courbe coïncide à la grosseur du trait de crayon près avec la forme de l'oeuf obtenue par une étude statistique). Ici, A = (0 ; 0), B = (0 ; 0,2), C = (0 ; 1), cte = 2,2. Ehrahrt dénommait ces courbes "hyperellipses à 3 foyers". Voir aussi l'oeuf de Kepler et les foliums droits. Pour un répertoire des courbes en forme d'oeuf : http://www.mathematische-basteleien.de/eggcurves.htm
Noeud de papillon Équation polaire : . Équation cartésienne : ou Paraboles asymptotes (en vert ) : . Variante : , soit dont la partie en huit est la lemniscate de Gérono.
Papillon de T. Fay (1989) Équation polaire : (à droite ). Voir aussi le papillon de Cundy et Rollett.
Swastika (Cundy et Rollet) Équation polaire : Équation cartésienne :
Courbe du Ying et du Yang Équation polaire : pour (ci-contre avec a = p/2), plus le cercle . Variante avec cercle asymptote à droite : , soit , avec a = 1/2. R. Ferréol (2006)
Soucoupe volante Prendre deux courbes du style , par exemple et faire tourner autour de l'axe de symétrie. Voir aussi ici.