Nom donné par Loria en 1930. Autre nom, donné par Laboulaye en 1849 : courbe à n ventres.

 

Équation polaire :  avec n réel > 0. Courbe algébrique ssi n est rationnel.

Les polygastéroïdes sont les inverses de conchoïdes de rosaces.
Remarque : les "monogastéroïdes" (n = 1) ne sont autres que les coniques.

La courbe est formée d'un motif de base symétrique par rapport à Ox obtenu pour  :
 

motif de base pour  e < 1

motif de base pour e = 1 (branche parabolique)

motif de base pour e > 1 (branche à asymptote)

transformé par toutes les rotations d'angle  pour k entier.
Lorsque n est rationnel de numérateur p, p rotations donnent toute la courbe.
 

Cas  e < 1 :
 

n = 1 : ellipse	n  = 2 : ovale de Booth	n = 3	n = 4	n = 5
n = 1/2 :	n = 3/2	n = 5/2	n = 7/2	n = 9/2
n  = 1/3	n = 2/3	n = 4/3	n = 5/3	n = 7/3
n = 1/4	n = 3/4	n = 5/4	n = 7/4	n = 9/4
n = 1/5	n = 2/5	n = 3/5	n = 4/5	n = 6/5

On peut obtenir ces courbes comme profil conjugué d'une ellipse.

Cas e = 1 (comparer avec les épis ):

n = 1 : parabole	n  = 2 : campyle d'Eudoxe	n = 3	n = 4	n = 5
n = 1/2	n = 3/2	n = 5/2	n = 7/2	n = 9/2
n  = 1/3	n = 2/3	n = 4/3	n = 5/3	n = 7/3
n = 1/4	n = 3/4	n = 5/4	n = 7/4	n = 9/4
n = 1/5	n = 2/5	n = 3/5	n = 4/5	n = 6/5

Cas e > 1 :

n = 1 : hyperbole	n  = 2
n = 1/2	n = 3/4

Les polygastéroïdes sont les développements plans des sections planes du cône de révolution.

Si l'on enroule le plan de la conique  en un cône de sommet O et de demi-angle au sommet , d'axe Oz, la projection sur xOy de cette conique enroulée est la polygastéroïde : , ce qui fournit une construction de ces dernières dans le cas n < 1.

On peut obtenir ces courbes comme profil conjugué d'une droite.

Les développées des tractoires de cercle ainsi que les projections sur le plan de symétrie des loxodromies du tore ouvert sont des polygastéroïdes.
 

courbe suivante

courbe précédente

courbes 2D

courbes 3D

surfaces

fractals

polyèdres

© Robert FERRÉOL 2007