où P, Q et R sont trois polynômes à
coefficients réels dont le maximum des degré est 6.
En remplaçant t par
,
on obtient une paramétrisation trigonométrique : 
.| courbe suivante | courbe précédente | courbes 2D | courbes 3D | surfaces | fractals | polyèdres |
SEXTIQUE RATIONNELLE
Rational sextic, rationale Sextik
Les sextiques rationnelles
sont les sextiques de genre
nul, ayant donc entre un et dix points singuliers faisant diminuer le genre
de 10 (dans le plan projectif complexe).
| Paramétrisation cartésienne :
où P, Q et R sont trois polynômes à
coefficients réels dont le maximum des degré est 6.
En remplaçant t par ,
on obtient une paramétrisation trigonométrique : . |
La plupart des sextiques rationnelles remarquables font
partie de la famille des courbes rationnelles de dégré £
6,
bornées, et d'axe de symétrie
Oy,
de paramétrisation 
, comme on le constatera ci-après.
Exemples de sextiques rationnelles :
- le quadrifolium
et ses conchoïdes
: 
(a
= 0 : quadrifolium, a = 1 : trisectrice
de Ceva , a = 2 : oeuf
double : a > 2 : cacahuète)
- le folium
de Dürer et ses conchoïdes
: 
(a
= 0 : folium de Dürer, a = 1 : néphroïde
de Freeth )
- les épitrochoïdes
de paramètre q = 2: 
(a = 1 : folium de
Dürer , a = 3 : néphroïde).
- les hypotrochoïdes
de paramètre q = 4: 
(a = 1 : quadrifolium , a
= 3 : astroïde ).
- les épitrochoïdes
de paramètre q = 1/2: 
.
- les hypotrochoïdes
de paramètre q = 5/2 (étoiles à 5 branches)
: 
.
- la cornoïde
: 
- la croix
de Malte : 
- La double
goutte d'eau : 
- la sextique
de Cayley : 
- la courbe
de Lissajous : 
- le moulin
à vent : 
- le noeud
de papillon : 
- les scarabées
: 
(dont
le quadrifolium : 
)
- les courbes
de Talbot : 
.
Par ordre d'apparition : l'oeuf double le folium de Durer courbe ressemblant à la cornoïde le quadrifolium la croix de Malte la double goutte d'eau . |
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Autres exemples :
Une jolie sextique avec un point triple à tangentes
confondues :  |
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Une autre, qui est indécomposable, et semble pourtant
se décomposer en un cercle et un huit :  . |
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Cette troisième semble elle aussi se décomposer,
en un cercle et une cardioïde :  .
Cette courbe est associée aux triangles dont une hauteur, une médiane et une bissectrice sont concourantes : si l'on fixe le sommet de la hauteur en (0,0) et le sommet de la médiane en (1,0), cette courbe est le lieu du troisième sommet d'un tel triangle. Le lieu du point de concours est une septique. |
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© Robert FERRÉOL 2008