Spirale de Norwich

SPIRALE DE NORWICH
Norwich spiral, Spirale aus Norwich

Courbe étudiée par Ricatti en 1712, Euler en 1781, Sturm en 1857, et Sylvester en 1868.
Le nom de spirale de Norwich a été donné par Sylvester en référence au lieu où s'est tenu un congrès en 1868 où il a présenté des travaux concernant les développantes successives du cercle.
Autre nom : spirale de Sturm.
Ref : [Loria] p.168. et irem.u-strasbg.fr/php/articles/97_Stoll.pdf

La spirale de Norwich est la courbe, autre qu'un cercle, telle que le rayon de courbure est en tout point égal à la distance à un point fixe.

Équation différentielle : (p est le rayon podaire).
Intégrale première : , le cas a = 0 donne le cercle, mais, dans le cas a > 0, on obtient :
Équation polaire : , paramétrisation polaire : .
Abscisse curviligne : , angle tangentiel polaire : .
Rayon podaire : , rayon de courbure : .
Équation intrinsèque 1 : .

A droite, figure illustrant le fait que tout point de la spirale de Norwich (en rouge) est à même distance du centre de courbure que de O.
En bleu, la développée, lieu des centres de courbure.

Or; on s'aperçoit, en déterminant par exemple son équation intrinsèque, que cette développée n'est autre qu'une développante de cercle (plus précisément du cercle de centre O et de rayon 2a).
La spirale de Norwich est donc l'une des développantes secondes de cercle.
Et les développantes secondes de cercle sont les courbes telles que le rayon de courbure est en tout point égal à la distance au centre du cercle, plus une constante.
On peut caractériser la spirale de Norwich parmi ces développantes secondes par le fait qu'elle coupe orthogonalement le cercle.

La spirale de Norwich est asymptote à la spirale de Galilée :.

On peut chercher plus généralement les courbes telles que le rayon de courbure est proportionnel à la distance à un point fixe ; l'équation différentielle donne comme intégrale première , d'où l'équation polaire : ; on obtient la discussion suivante :

Si a = 0, alors , qui n'est autre qu'une spirale logarithmique, avec le cas limite du cercle pour k = 1 (pas de solution pour k > 1).

Si a > 0, 0 < k < 1,

Si a > 0, k > 1,

Considérons maintenant les courbes telles que la courbure est proportionnelle à la distance à un point fixe ; l'équation différentielle donne comme intégrale première , d'où l'équation polaire : ;

Le cas c = 0, donne qui n'est autre qu'une lemniscate de Bernoulli.
La courbure d'une lemniscate est proportionnelle à la distance au centre.

Enfin, l'une des solution de est la cardioïde.

Comparer avec les courbes élastiques, courbes telle que la courbure est proportionnelle à la distance à une droite fixe.

courbe suivante courbe précédente courbes 2D courbes 3D surfaces fractals polyèdres

On peut chercher plus généralement les courbes telles que le rayon de courbure est proportionnel à la distance à un point fixe ; l'équation différentielle donne comme intégrale première , d'où l'équation polaire : ; on obtient la discussion suivante :
Si a = 0, alors , qui n'est autre qu'une spirale logarithmique, avec le cas limite du cercle pour k = 1 (pas de solution pour k > 1).
Si a > 0, 0 < k < 1,
Si a > 0, k > 1,

Considérons maintenant les courbes telles que la courbure est proportionnelle à la distance à un point fixe ; l'équation différentielle donne comme intégrale première , d'où l'équation polaire : ;
Le cas c = 0, donne qui n'est autre qu'une lemniscate de Bernoulli.	La courbure d'une lemniscate est proportionnelle à la distance au centre.
Enfin, l'une des solution de est la cardioïde.