Courbe de Talbot

COURBE DE TALBOT
Talbot's curve, Talbotsche Kurve

Courbe étudiée par Roche et Talbot en 1821, puis par Tortolini en 1846.

Paramétrisation cartésienne, partant de l'ellipse

où

.
Sextique rationnelle.

La courbe de Talbot est l'antipodaire de l'ellipse par rapport à son centre. C'est donc l'enveloppe des droites perpendiculaires aux diamètres de l'ellipse à leurs extrémités.

pour la courbe a une forme ovale

pour la courbe a 4 points de rebroussements

La courbe de Talbot est donc aussi (à homothétie de rapport 1/2 près) la courbe isotèle de l'ellipse par rapport à son centre, soit le lieu des centres des cercles tangents à l'ellipse et passant par son centre. Sur cette île elliptique, la courbe de Talbot sans ses deux "nageoires" enserre la zone des points qui sont plus proches du centre que de la rive.

On peut généraliser cette courbe en considérant l'antipodaire de l'ellipse par rapport à un point quelconque de son grand axe, situé à d du centre.
On obtient la paramétrisation : .

Premier cas particulier : antipodaire de l'ellipse par rapport à un foyer (d = c).
La paramétrisation se simplifie en : .
Le cas donne qui n'est autre, à dilatation près, que le poisson à nageoires pointues.

Deuxième cas particulier : antipodaire de l'ellipse par rapport à un sommet principal (d = a).
La paramétrisation se simplifie en : qui n'est autre, à dilatation près, que celle d'une deltoïde.

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On peut généraliser cette courbe en considérant l'antipodaire de l'ellipse par rapport à un point quelconque de son grand axe, situé à d du centre. On obtient la paramétrisation : .
Premier cas particulier : antipodaire de l'ellipse par rapport à un foyer (d = c). La paramétrisation se simplifie en : . Le cas donne qui n'est autre, à dilatation près, que le poisson à nageoires pointues.
Deuxième cas particulier : antipodaire de l'ellipse par rapport à un sommet principal (d = a). La paramétrisation se simplifie en : qui n'est autre, à dilatation près, que celle d'une deltoïde.