TRÈFLE À QUATRE FEUILLES
Four-leafed rose, Vierblatt
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TRÈFLE À QUATRE FEUILLES
Four-leafed rose, Vierblatt
| Autres nom : rosace à quatre branches, quadrifolium. |
Équation polaire :  .
Equation cartésienne :  .
Sextique rationnelle Paramétrisation cartésienne dans un repère tourné de 
:  .
Longueur :  .
Aire : 
(moitié de celle du disque circonscrit ; les pétales "négatifs"
découpés sur ce disque ont donc même aire que les "positifs") |
Le trèfle à quatre feuilles est la rosace à quatre pétales.
On peut l'obtenir comme trajectoire du deuxième
point d'intersection d'une droite et d'un cercle tournant autour d'un de
leurs points, soit dans le même sens le cercle tournant à
une vitesse triple de la droite, soit en sens contraire avec la même
vitesse.
On l'obtient aussi comme trajectoire du deuxième
point d'intersection de deux cercles identiques tornant autour d'un de
leurs points, en sens contraire l'un tournant à une vitesse triple
de l'autre.
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C'est le lieu des pieds des perpendiculaires issues de
O
sur un segment de longueur 2a dont les extrémités
se déplacent sur les axes ; c’est donc la podaire
par rapport à
O de l’astroïde
: 
(le
trèfle à quatre feuilles est donc une scarabée)
. Et c'est aussi l'enveloppe des cercles dont un diamètre joint
O
à un point de cette astroïde.
| Le trèfle à quatre feuilles est également
une
hypotrochoïde
:
somme de deux mouvements circulaires de même rayon, de sens contraires, les vitesses angulaires étant dans le rapport 3 ; ou bien cercle de roulement de rayon |
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Comme pour toute rosace, le quadrifolium est la vue de
dessus d'une clélie.
Cette élégante courbe sphérique d'équation
cylindrique 
est ici un cas limite de la couture
de la balle de tennis. |
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| Le quadrifolium s'obtient aussi par projections à partir d'une couronne sinusoïdale à 2 arches (ou courbe de la crêpe), par l'intermédiaire d'une vasque 3D. |  |
| Ci-contre, quadrifoliums homothétiques (en rouge), et leurs trajectoires orthogonales. |  |
Voici quelques variantes donnant des trèfles à
4 feuilles un peu plus réalistes :
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Réunion de deux lemniscates de Bernoulli |
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Deux quadrifolium à asymptotes :  ,
soit 
(décique), et  ,
soit 
(octique). |
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Voir aussi à trisectrice
de Céva, à oeuf
double et à surface
d'Enneper.
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Superbe quadrifolium exécuté par un jongleur de bolas. |
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© Robert FERRÉOL 2011
,
cercle roulant de rayon 
,
distance du point au cercle roulant = 
.