Courbe du trois-barres

COURBE DU TROIS-BARRES
Three-bar mechanism curve

les courbes tracées ici sont des 1/2 courbes du trois-barres

Courbe étudiée par Tchebicheff en 1868, Cayley et Roberts en 1875, Darboux en 1879 et Koenigs en 1897.
KOENIGS, leçons de cinématiques, Hermann, 1897, p. 246 à 299 ; BROCARD LEMOYNE T 2 p 116 ;
BRICARD, cinématique et mécanismes, A. Colin , 1947 ; H. Lebesgue, Leçons sur les constructions géométriques, 1950 ;
ROSENAUER, WILLIS, kinematics of mechanisms, Dover, New York, 1967 ; HUNT, Kinematics, geometry of mechanisms, Oxford University Press, 1978 ;
F. RIDEAU, les systèmes articulés, Pour La science n° 136, février 1989 ; Au dela du compas expos. du Palais de la Découverte p. 54 à 57.
F. PECAUT : les quadrilatères articulés ; W. D. SMITH : Plane mechanisms.
Voir aussi le site d'alain Esculier pour les explications sur les animations de cette page.

Une courbe du trois-barres est le lieu d’un point fixé M du plan lié à la barre [PQ] d'un quadrilatère articulé (APQB), A et B étant fixes. Les trois «barres» en question sont [AP] et [BQ] (appelés les manivelles ou les balanciers) - et [PQ] (appelé la bielle, ou le couple).

Nous choisissons A(0, 0), B(0, a), AP = b, BQ = c, PQ = d.
En prenant des lettres minuscules pour les affixes des points, on a :
, t et u étant reliés par la relation .
Équation cartésienne (Roberts) :
où
Sextique tricirculaire, elliptique sauf quand , où la courbe est rationnelle, (et décomposée ?).
Il y a trois points doubles (réels ou non) sur le cercle LP = MN.

Une courbe du trois-barres est donc le lieu d'un point lié à un segment de longueur constante joignant deux cercles (les cercles (C_A) et (C_B) de centres A et B et de rayon b et c).

Lorsque les manivelles ont même longueur et M est le milieu [PQ], on obtient une courbe de Watt.

La courbe est non vide si et seulement s'il existe au moins un quadrilatère de côtés de longueurs a, b, c et d, soit si chacun de ces quatre nombres est inférieur ou égal à la somme des autres, soit encore

On dit que le point P est à révolution complète s'il peut décrire le cercle (C_A) entier (même définition pour Q) ; en mécanique le bras [AP] est appelé une manivelle quand il y a rotation complète, et un balancier sinon ; on démontre que si A₁ est le point d'intersection de gauche de (C_A) avec (AB), et A₂ celui de droite, le point P passe par A₁ ssi et le point P passe par A₂ ssi . Le point P est à révolution complète ssi ces deux conditions sont réalisées et pour le point Q, il y a 2 inégalités similaires obtenues en échangeant b et c.

La courbe est formée d'une seule composante si et seulement pour P et Q l'une des 2 inégalités ci-dessus est réalisée (??).

a = 4 ; b =1,5 ; c = 2 ; d = a + c - b ; Cas (limite) où P est à révolution complète ; Q traverse l'axe à droite mais ne fait pas une révolution complète.
a = 4 ; b =2 ; c = 7 ; d = a ; Pas de point à révolution complète, mais P et Q traversent l'axe à gauche. a = 4 ; b = 1,5 ; c = 2 : d = a
P est à révolution complète, mais Q ne traverse pas l'axe : la courbe est formée de deux composantes (qui se chevauchent : elle est donc connexe !).

Cas du parallélogramme et du contre-parallélogramme (a = d et b = c) : seul cas où P et Q sont à révolution complète ; la courbe se décompose en un cercle et une quartique bicirculaire rationnelle, qui est une podaire d'ellipse quand a < b ou d'hyperbole quand a > b (la bielle est l'axe focal d'une conique à centre roulant sur une conique égale).
Cas du rhomboïde (a = c et b = d) D'après le principe de l'échange de bielle et manivelle (voir plus loin), la courbe obtenue est semblable à la précédente.

La courbe est générée de deux autres façons par deux autres trois-barres [BRSC] et [CTUA] (théorème de triple génération de Roberts) :

Les trois quadrilatères blancs sont des parallélogrammes, et les trois triangles rouges sont semblables ; par conséquent :
r = b + m - q ; u = a + m - p ;
s = r + (m - q)(m - r)/(p - q) ;
t = m + (m - q)(m - u)/(q - p) ;
c = t + s - m.
(b', d', c') est proportionnel à (d, c, b) et
(b" ,d", c") à (c, b, d).
Le triangle (ABC) reste fixe.

Superbe animation de la triple génération de Roberts due à Alain Esculier.

On en déduit le principe de l'échange de bielle et manivelle, affirmant que si l'on échange la bielle avec une manivelle, les courbes décrites à l'aide du nouveau dispositif sont semblables à celles de départ.

Dans le cas b = c = d et triangle équilatéral (cas étudié par François Rideau) : le dispositif de triple génération présente une symétrie d'ordre 3, donc également la courbe ; si l'on pose k = 3b / a on obtient les formes suivantes :

k < 3/2 : triangle arrondi
k = 3/ 2 : quasi triangle
3/2 < k < 3
k > 3

Le cas a = 2d, b = c =QM = MP, correspond au mécanisme de Roberts permettant d'obtenir une courbe quasi rectiligne (voir aussi à courbe de Watt).

la courbe passe par A, B et le milieu de [AB]
la courbe complète (enfin, à compléter avec son symétrique par rapport à [AB]) n'a théoriquement aucune portion rectiligne.

Enveloppe de la bielle ?

On a généralisé ces courbes au cas d'un segment de longueur fixée (toujours appelé la bielle) dont les extrémités sont astreints à se déplacer sur deux courbes données.

Lorsque ces 2 courbes sont des droites non parallèles, les points liés à la bielle décrivent des ellipses, (théorème de La Hire), tandis que la bielle enveloppe une tétracuspide (?) ; ce mécanisme est à la base du trace-ellipse d'Archimède.

Lorsque l'une est une droite et l'autre un cercle, on obtient les courbes de la bielle de Bérard et plus généralement lorsque l'une est une droite et l'autre une conique, on obtient les courbes polyzomales.

Site à visiter absolument :

www.math.unifi.it/archimede/archimede/curve/geomeccan4.html

www.math.unifi.it/archimede/archimede/curve/visita/quadrilateroarticolato.htm

Regarder aussi le L-système à trois barres.

Les points de la jambe du cycliste décrivent des courbes du trois-barres.

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