Clélie

CLÉLIE
Clelia

Courbe étudiée par Pappus dans un cas particulier, et par Guido Grandi en 1728 ; ce dernier lui a donné ce nom en hommage à la comtesse Clelia Borromeo, et non à l'héroïne légendaire de Rome ou celle d'un roman de Mme de Scudéry !
Autre nom : spirale (d'Archimède) sphérique.

Équation sphérique : (l = latitude, q = longitude).
Paramétrisation cartésienne : .
Équation cylindrique : .
Courbe sphérique, algébrique ssi n est rationnel (degré = 2(numérateur + dénominateur de n)).
Abscisse curviligne : .
Longueur du motif de base : (intégrale elliptique).

Les clélies sont les lieux d’un point M d’un méridien d’une sphère tournant à vitesse constante w autour de l’axe polaire, le point M se déplaçant à la vitesse constante nw sur ce méridien.

On obtient donc physiquement une clélie lorsque l'on pèle une orange où lorsqu'on rembobine régulièrement une pelote de ficelle sphérique.
La courbe est formée d'un motif de base symétrique par rapport à Ox obtenu pour

partant du pôle sud pour arriver au pôle nord après n/2 tours :

transformé par toutes les rotations d'angle pour k entier.
Lorsque n est rationnel de numérateur p, et de dénominateur q, la courbe est symétrique par rapport à O ssi p ou q est pair.

Dans ce cas, la courbe est formée de 2p motifs issus du motif de base par rotations d'axe Oz d'angles et + p.

Lorque p et q sont impairs, la courbe est formée de p motifs issus du motif de base par rotations d'axe Oz d'angles .

Exemples :

n = 1 : courbe de Viviani.
n = 2
n = 3
n = 4
n = 5

n = 1/2
n = 3/2
n = 5/2
n = 7/2
n = 9/2

n = 1/3
n = 2/3
n = 4/3
n = 5/3
n = 7/3

n = 1/4
n = 3/4
n = 5/4
n = 7/4
n = 9/4

n = 1/5
n = 2/5
n = 3/5
n = 4/5
n = 6/5

Si vous avez le logiciel Maple et souhaitez manipuler ces figures à la souris, téléchargez ce fichier.

La projection (orthogonale) sur xOy est la rosace .
La projection conique de centre O sur le plan z = R est le noeud : .
La projection stéréographique de pôle sud est le noeud : .

Les clélies sont des cas limites des solénoïdes toriques.

Ne pas confondre les clélies avec les hélices sphériques, ni avec les loxodromies.

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n = 1 : courbe de Viviani.	n = 2	n = 3	n = 4	n = 5
n = 1/2	n = 3/2	n = 5/2	n = 7/2	n = 9/2
n = 1/3	n = 2/3	n = 4/3	n = 5/3	n = 7/3
n = 1/4	n = 3/4	n = 5/4	n = 7/4	n = 9/4
n = 1/5	n = 2/5	n = 3/5	n = 4/5	n = 6/5