Quelle est la courbe suivie par la couture d'une balle de tennis ?
 

Il semble naturel d'imposer comme conditions à cette courbe

    1) d'être tracée sur une sphère (par exemple de centre O)

    2) d'être invariante par retournement, par exemple  x' = y, y' = x , z'= - z (autrement dit, avoir une symétrie axiale)

    3) de séparer la sphère en deux morceaux (forcément isométriques d'après 2))
 
 

Une possibilité est alors la courbe réunion de 4 demi-cercles présentée ci-contre.  Cette courbe est la courbe de contact de la sphère inscrite dans un sphéricône,  enveloppe convexe de deux demi-disques orthogonaux comme présenté ci-contre.

Mais cette courbe est définie par morceaux, et se pose le problème de savoir si on peut rajouter à la courbe la propriété :

    4) d'être rationnelle

La réponse est oui : la vue  m'a donné l'idée de prendre pour projection sur xOy une hypotrochoïde à symétrie d'ordre 4 :  , puis avec une fonction sinusoïdale adéquate pour z, on obtient la courbe :
 

Paramétrisation cartésienne : . Courbe tracée sur une sphère (de centre O et de rayon d = a+b) ssi . Courbe rationnelle de degré 6.

 
 

Ci-contre la déformation de la courbe pour d constant et b variant de a à 0. Le cas b = a (point double au pôle nord) donne une clélie, dont la vue de dessus est un quadrifolium. La valeur de b pour laquelle la courbe a une tangente verticale au point d'intersection avec l'équateur est b = a / 3. Cela correspond à peu près visuellement à la courbe réelle.

 

Diverses vues de la courbe pour b légèrement inférieur à a.

Cette courbe est l'intersection de la sphère avec une surface cubique :  c'est une courbe algébrique de degré 2 . 3 = 6.

Mais peut-on trouver une autre courbe vérifiant les propriétés 1) à 4) ??
 
 

Sur www.gebr-grimm.de/cucke/seite2.htm  est dénommée "Tennisballkurve" l'intersection d'une sphère avec un paraboloïde hyperbolique . Cette courbe possède l'avantage d'être de degré 4 (c'est une biquadratique sphérique), mais ne vérifie pas la propriété 4) (elle n'est pas rationnelle).

Une autre possibilité est la sinusoïde sphérique à deux arches, intersection d'un demi cône sinusoïdal :  avec une sphère. C'est la moitié d'une courbe algébrique de degré 8. La comparaison montre que cette courbe est moins harmonieuse que  la courbe ci-dessus (en bleu).

Le théorème de la balle de tennis affirme que toute courbe lisse autre qu'un cercle partageant la sphère en deux parties isométriques a au moins 4 points d'infllexion.

Voir aussi la courbe du ballon de basket, et cet article sur le "base-ball cover".
 
 

Vue d'artiste d'une courbe ressemblant fort à la vue de dessus de la courbe de la balle de tennis.

Sculpture due à Vieweger située à l'entrée d'un clud de tennis à Munich.

 
 

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© Robert FERRÉOL, Alain ESCULIER 2006