Quelle est la courbe suivie par la couture d'une balle de tennis ?
 

Il semble naturel d'imposer comme conditions à cette courbe

    1) d'être tracée sur une sphère (par exemple de centre O)

    2) d'être invariante par retournement, par exemple  x' = y, y' = x , z'= - z (autrement dit, avoir une symétrie axiale)

    3) de séparer la sphère en deux morceaux (forcément isométriques d'après 2))
 
 

Une possibilité est alors la courbe réunion de 4 demi-cercles présentée ci-contre.  Cette courbe est la courbe de contact de la sphère inscrite dans un sphéricône,  enveloppe convexe de deux demi-disques orthogonaux comme présenté ci-contre.

Mais cette courbe est définie par morceaux, et se pose le problème de savoir si on peut rajouter à la courbe la propriété :

    4) d'être rationnelle

La réponse est oui : la vue  m'a donné l'idée de prendre pour projection sur xOy une hypotrochoïde à symétrie d'ordre 4 :  , puis avec une fonction sinusoïdale adéquate pour z, on obtient la courbe :
 

Paramétrisation cartésienne : . Courbe tracée sur une sphère (de centre O et de rayon d = a+b) ssi . Courbe rationnelle de degré 6.

 
 

Ci-contre la déformation de la courbe, qui est une cas particulier de courbe des satellites, pour d constant et b variant de a à 0. Le cas b = a (point double au pôle nord) donne une clélie, dont la vue de dessus est un quadrifolium.
La valeur de b pour laquelle la courbe a une tangente verticale au point d'intersection avec l'équateur est b = a / 3 (la projection est une astroïde). Cela correspond à peu près visuellement à la courbe réelle. Cette courbe de paramétrisation  est l'intersection des deux cylindres orthogonaux :

 

Diverses vues de la courbe pour b légèrement inférieur à a.

Cette courbe est l'intersection de la sphère avec une surface cubique : c'est une courbe algébrique de degré 2 . 3 = 6.

Mais peut-on trouver une autre courbe vérifiant les propriétés 1) à 4) ?
 
 

Sur www.gebr-grimm.de/cucke/seite2.htm  est dénommée "Tennisballkurve" l'intersection de la sphère  avec un paraboloïde hyperbolique . Cette courbe possède l'avantage d'être de degré 4 (c'est une biquadratique sphérique), mais ne vérifie pas la propriété 4) : elle n'est pas rationnelle. Elle est aussi l'intersection des deux cylindres elliptiques  et  où  (voir ce site où elle est dénommée courbe de Bishop). Cette courbe est donc une dilatation de bicylindrique.
Une autre possibilité est la sinusoïde sphérique à deux arches, intersection d'un demi cône sinusoïdal :  avec une sphère. C'est la moitié d'une courbe algébrique de degré 8. La comparaison montre que cette courbe (en rouge) est moins harmonieuse que la courbe ci-dessus (en bleu).
Autre possibilité : section du conoïde de Plücker avec une sphère ; c'est une courbe algébrique de degré 6, non rationnelle.

Le théorème de la balle de tennis affirme que toute courbe lisse autre qu'un cercle partageant la sphère en deux parties isométriques a au moins 4 points d'infllexion.

Voir aussi la courbe du ballon de basket, et cet article sur le "base-ball cover".
 
 

Vue d'artiste d'une courbe ressemblant fort à la vue de dessus de la courbe de la balle de tennis.

Sculpture due à Vieweger située à l'entrée d'un clud de tennis à Munich.

 
 

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© Robert FERRÉOL, Alain ESCULIER 2011