LOXODROMIE DE LA SPHÈRE
Loxodrome of the sphere, Loxodrome der Kugel
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LOXODROMIE DE LA SPHÈRE
Loxodrome of the sphere, Loxodrome der Kugel
| Courbe étudiée par Pedro Nunez en 1535 et Stevin en 1608 ; nom donné par Snellius en 1624. |
En prenant q = longitude,
l
= latitude, 
où
a est l’angle constant
que fait la courbe avec les parallèles :
Équation différentielle sphérique :  .
Hormis le cas des parallèles : l = cte obtenus pour a = 0 : Équation sphérique :  .
où gd-1 est la fonction de Gudermann inverse, définie pour 
par :
gd-1 (x) = ln (tan(x/2 + p/4)) = argsh(tan x) = argth(sin x) = signe(x).argch(sec(x)). (dont la courbe est la radioïde pseudo-elliptique). Équation cylindrique pour 
:  .
Rayon de courbure :  .
Rayon de torsion :  . |
Les loxodromies de la sphère,
associées à un axe donné, sont les courbes faisant
un angle constant avec les parallèles (ou avec les méridiens).
Ne pas confondre les loxodromies avec les hélices
sphériques, qui font, elles, un angle constant avec le plan
de l'équateur, ni avec les clélies.
Les loxodromies correspondent aux droites en coordonnées
de Mercator 
; autrement dit, sur les cartes terrestres en projection de Mercator, on
dessine les loxodromies par des droites. L'angle a
que font, sur la carte, les images des loxodromies avec l'horizontale est
le même que celui qu'elles font sur la sphère avec les parallèles.
Si l’on connaît les coordonnées géographiques 
et 
de
deux points, l’angle a associé à
la loxodromie la plus courte joignant ces deux points est obtenu par la
formule : 
,
et la longueur est donnée par : 
.
La notion de loxodromie s'oppose à celle d'orthodromie
(ou géodésique), chemin
le plus court joignant deux points de la sphère, qui est un arc
de grand cercle ; par comparaison, la longueur de
l'orthodromie joignant les deux point ci-dessus est donnée par la
formule 
.
 La loxodromie (en rouge) et l'orthodromie (en bleu) joignant le point
de longitude 15° ouest et de latitude 15° sud au point de longitude
150° ouest et de latitude 60° nord.
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Les mêmes sur une carte en projection de Mercator !!! |
La projection orthogonale de la loxodromie sur le plan
de l'équateur est, comme le montre l'équation cylindrique
ci-dessus, la spirale de
Poinsot bornée : 
.
La projection stéréographique de pôle
nord sur le plan de l'équateur est la spirale
logarithmique : 
,
faisant le même angle 
avec le rayon vecteur que la loxodromie fait avec les méridiens
(puisque la projection stéréographique est une transformation
conforme).
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Des loxodromies vues par Escher
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© Robert FERRÉOL, Jacques MANDONNET 2001