Icositétratope

HYPERGRANATOÈDRE
24-cell, 24-Zell

Origine du nom	de hyper et granatoèdre, autre nom du dodécaèdre rhombique (à cause de sa construction similaire à celui-ci)
Autres noms	C₂₄, 24 cellules, icositétrachore, icositétratope (de icosi "20" et tétra "4"), polyoctaèdre, octaplexe (= complexe d'octaèdres)
Famille	polychore régulier
Dual	lui-même
Symbole de Schläfli	{3, 4, 3} (3 cellules autour de chaque arête)
Cellules	24 octaèdres
Faces	96 triangles
Arêtes	96 arêtes de longueur a communes chacune à 3 faces et 3 cellules
Sommets	24 sommets ; à chaque sommet aboutissent 8 arêtes, 12 triangles et 6 octaèdres
Patrons	environ 1,8. 10¹⁶ patrons différents en tout
Graphe des arêtes	graphe à 24 sommets régulier de degré 8 ; voir ici des renseignements suppplémentaires
Diamètres	hypersphère inscrite : 2 a ; hypersphère circonscrite : ????a
Mensurations	hypervolume : volume de sa frontière :
Construction	augmentation d'un 4-hypercube (coller huit hyperpyramides à base cubiques sur les huit cellules de l'hypercube) rectification d'un 4-hyperoctaèdre
Coordonnées des sommets	(±2, 0, 0, 0) et permutés (8 sommets d'un hyperoctaèdre) (±1, ±1, ±1, ±1) (16 sommets d'un hypercube) pour une longueur d'arête a = 2 ou bien (±1, ±1, 0, 0) et permutés pour une longueur d'arête a = Ci-dessous, la liste des arêtes, dans le premier cas : [[[-2, 0, 0, 0], [-1, -1, -1, -1]], [[-2, 0, 0, 0], [-1, -1, -1, 1]], [[-2, 0, 0, 0], [-1, -1, 1, -1]], [[-2, 0, 0, 0], [-1, -1, 1, 1]], [[-2, 0, 0, 0], [-1, 1, -1, -1]], [[-2, 0, 0, 0], [-1, 1, -1, 1]], [[-2, 0, 0, 0], [-1, 1, 1, -1]], [[-2, 0, 0, 0], [-1, 1, 1, 1]], [[2, 0, 0, 0], [1, -1, -1, -1]], [[2, 0, 0, 0], [1, -1, -1, 1]], [[2, 0, 0, 0], [1, -1, 1, -1]], [[2, 0, 0, 0], [1, -1, 1, 1]], [[2, 0, 0, 0], [1, 1, -1, -1]], [[2, 0, 0, 0], [1, 1, -1, 1]], [[2, 0, 0, 0], [1, 1, 1, -1]], [[2, 0, 0, 0], [1, 1, 1, 1]], [[0, -2, 0, 0], [-1, -1, -1, -1]], [[0, -2, 0, 0], [-1, -1, -1, 1]], [[0, -2, 0, 0], [-1, -1, 1, -1]], [[0, -2, 0, 0], [-1, -1, 1, 1]], [[0, -2, 0, 0], [1, -1, -1, -1]], [[0, -2, 0, 0], [1, -1, -1, 1]], [[0, -2, 0, 0], [1, -1, 1, -1]], [[0, -2, 0, 0], [1, -1, 1, 1]], [[0, 2, 0, 0], [-1, 1, -1, -1]], [[0, 2, 0, 0], [-1, 1, -1, 1]], [[0, 2, 0, 0], [-1, 1, 1, -1]], [[0, 2, 0, 0], [-1, 1, 1, 1]], [[0, 2, 0, 0], [1, 1, -1, -1]], [[0, 2, 0, 0], [1, 1, -1, 1]], [[0, 2, 0, 0], [1, 1, 1, -1]], [[0, 2, 0, 0], [1, 1, 1, 1]], [[0, 0, -2, 0], [-1, -1, -1, -1]], [[0, 0, -2, 0], [-1, -1, -1, 1]], [[0, 0, -2, 0], [-1, 1, -1, -1]], [[0, 0, -2, 0], [-1, 1, -1, 1]], [[0, 0, -2, 0], [1, -1, -1, -1]], [[0, 0, -2, 0], [1, -1, -1, 1]], [[0, 0, -2, 0], [1, 1, -1, -1]], [[0, 0, -2, 0], [1, 1, -1, 1]], [[0, 0, 2, 0], [-1, -1, 1, -1]], [[0, 0, 2, 0], [-1, -1, 1, 1]], [[0, 0, 2, 0], [-1, 1, 1, -1]], [[0, 0, 2, 0], [-1, 1, 1, 1]], [[0, 0, 2, 0], [1, -1, 1, -1]], [[0, 0, 2, 0], [1, -1, 1, 1]], [[0, 0, 2, 0], [1, 1, 1, -1]], [[0, 0, 2, 0], [1, 1, 1, 1]], [[0, 0, 0, -2], [-1, -1, -1, -1]], [[0, 0, 0, -2], [-1, -1, 1, -1]], [[0, 0, 0, -2], [-1, 1, -1, -1]], [[0, 0, 0, -2], [-1, 1, 1, -1]], [[0, 0, 0, -2], [1, -1, -1, -1]], [[0, 0, 0, -2], [1, -1, 1, -1]], [[0, 0, 0, -2], [1, 1, -1, -1]], [[0, 0, 0, -2], [1, 1, 1, -1]], [[0, 0, 0, 2], [-1, -1, -1, 1]], [[0, 0, 0, 2], [-1, -1, 1, 1]], [[0, 0, 0, 2], [-1, 1, -1, 1]], [[0, 0, 0, 2], [-1, 1, 1, 1]], [[0, 0, 0, 2], [1, -1, -1, 1]], [[0, 0, 0, 2], [1, -1, 1, 1]], [[0, 0, 0, 2], [1, 1, -1, 1]], [[0, 0, 0, 2], [1, 1, 1, 1]], [[-1, -1, -1, -1], [-1, -1, -1, 1]], [[-1, -1, -1, -1], [-1, -1, 1, -1]], [[-1, -1, -1, -1], [-1, 1, -1, -1]], [[-1, -1, -1, -1], [1, -1, -1, -1]], [[-1, -1, -1, 1], [-1, -1, 1, 1]], [[-1, -1, -1, 1], [-1, 1, -1, 1]], [[-1, -1, -1, 1], [1, -1, -1, 1]], [[-1, -1, 1, -1], [-1, -1, 1, 1]], [[-1, -1, 1, -1], [-1, 1, 1, -1]], [[-1, -1, 1, -1], [1, -1, 1, -1]], [[-1, -1, 1, 1], [-1, 1, 1, 1]], [[-1, -1, 1, 1], [1, -1, 1, 1]], [[-1, 1, -1, -1], [-1, 1, -1, 1]], [[-1, 1, -1, -1], [-1, 1, 1, -1]], [[-1, 1, -1, -1], [1, 1, -1, -1]], [[-1, 1, -1, 1], [-1, 1, 1, 1]], [[-1, 1, -1, 1], [1, 1, -1, 1]], [[-1, 1, 1, -1], [-1, 1, 1, 1]], [[-1, 1, 1, -1], [1, 1, 1, -1]], [[-1, 1, 1, 1], [1, 1, 1, 1]], [[1, -1, -1, -1], [1, -1, -1, 1]], [[1, -1, -1, -1], [1, -1, 1, -1]], [[1, -1, -1, -1], [1, 1, -1, -1]], [[1, -1, -1, 1], [1, -1, 1, 1]], [[1, -1, -1, 1], [1, 1, -1, 1]], [[1, -1, 1, -1], [1, -1, 1, 1]], [[1, -1, 1, -1], [1, 1, 1, -1]], [[1, -1, 1, 1], [1, 1, 1, 1]], [[1, 1, -1, -1], [1, 1, -1, 1]], [[1, 1, -1, -1], [1, 1, 1, -1]], [[1, 1, -1, 1], [1, 1, 1, 1]], [[1, 1, 1, -1], [1, 1, 1, 1]]]
Groupe des isométries	ordre 2.24² = 1152
Remarque	pave l'espace de dimension 4, comme l'hypercube
Sites	en.wikipedia.org/wiki/24-cell http://mathworld.wolfram.com/24-Cell.html www.polytope.de/c24.html eusebeia.dyndns.org/4d/24-cell.html www.bathsheba.com/math/24cell/index.html www.science.psu.edu/alert/math10-2005.htm en.wikipedia.org/wiki/Octacube_(mathematics) Voir aussi : pour la science, mars 2006 p.96

Les sommets de l'hypergranatoèdre sont les centres des 24 faces d'un hypercube ; les arètes de l'hypergranatoèdre sont alors les 96 = 8.12 arêtes des 8 octaèdres déterminés par les milieux des faces des 8 cellules de l'hypercube.

Les sommets de l'hypergranatoèdre sont aussi les milieux des 24 arêtes d'un hyperoctaèdre.

Gravure réalisée par Patrice Jeener, avec son aimable autorisation.

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