Octaèdre tronqué

OCTAÈDRE TRONQUÉ
Truncated octahedron, abgestumpftes Oktaeder

Autre nom : solide de Kelvin.
Vues Povray de cette page réalisées par Alain Esculier.

Famille

polyèdre semi-régulier ou polyèdre archimédien
également : paralléloèdre

Historique

solide connu d'Archimède (III^e s. av. J.C.)

Dual

Tétraki-hexaèdre

Faces

8 hexagones et 6 carrés ; c'est donc un tétradécaèdre, parfois dénommé aussi tétrakaidécaèdre.

Sommets

24 sommets de degré 3, de code de Schläfli 4.6² ; angle solide : sr

Arêtes

36 arêtes de longueur a ; angle dièdre : 125° 16' entre un carré et un hexagone,

entre deux hexagones.

Patron

Graphe

Diamètres

sphère inscrite dans les carrés :

, dans les hexagones :

; intersphère (passant par les milieux des arêtes) : 3a ; sphère circonscrite :

Mensurations

volume :

aire :

coefficient isopérimétrique :

Coordonnées
des sommets

et les permutés, avec

Constructions

octaèdre faiblement tronqué aux sommets : (la troncature finale est le cuboctaèdre)
cube tronqué aux arêtes et fortement tronqué aux sommets : (la troncature intermédiaire est le cuboctaèdre tronqué)
tétraèdre tronqué aux arêtes et fortement tronqué aux sommets : (la troncature finale est le tétraèdre tronqué)

Plans de symétrie

Axes de rotation

3 axes passant par les centres de 2 carrés opposés (2 rotations d'ordre 4 par axe et une d'ordre 2)
4 axes passant par les centres de 2 carrés opposés (2 rotations d'ordre 3 par axe)
6 axes passant par les milieux de deux arêtes communes à des hexagones et opposées (1 rotations d'ordre 2 par axe)

Groupe des isométries

= celui de l'octaèdre

Polyède dérivé

Triacontahexaède tétragonal

Comme avec des cubes, on peut paver (c'est-à-dire remplir sans trou ni chevauchement) l'espace avec des octaèdres tronqués.
Voir aussi paralléloèdre.

Le réseau de cordes de cette pyramide est un empilement compact d'octaèdres tronqués

Cette propriété d'empilement sans interstice provient du fait que l'octaèdre tronqué n'est autre que le "domaine fondamental" (à savoir le domaine formé des points pour lesquels le noeud le plus proche est le noeud considéré) d'un réseau cubique centré.

Ci-contre, les cuboctaèdres sont centrés aux points de coordonnées , avec i,j,k entiers de même parité.

Le réseau cubique centré est obtenu à partir de deux réseaux cubiques simples, chaque noeud de l'un étant au centre d'un cube formé par 8 noeuds de l'autre.

Il est moins dense (densité ) que le réseau cubique à faces centrées, dont le domaine fondamental est le dodécaèdre rhombique.

Il ne faut pas confondre l'octaèdre tronqué avec le dodécaèdre rhombique tronqué représenté ci-contre, qui s'obtient lui aussi par troncature du cube, possède aussi 6 faces carrées et des faces hexagonales, mais celles-ci sont au nombre de 12 au lieu de 8 et ne sont mêmes pas régulières. Noter aussi aussi les deux types de sommets.

Je pense que ce polyèdre réalisé avec 24 tickets de métro que j'ai acheté à une personne qui les vendait sur un quai est un octaèdre tronqué.

Pavage d'espace par des octaèdres tronqués photographié par Carlos Sacré, en Roumanie près de Constanza.