Cyclide de Dupin

CYCLIDE DE DUPIN
Dupin's Cyclide, dupinsche Zyklide

Surface étudiée par Dupin en 1822, Darboux en 1872 et Forsyth en 1912.
[Julia] p 425, [Dontot], [Hadamard] p 646, [d'Ocagne] p 204, [Valiron] p 478.
Du grec kuklos : cercle, roue et eidos : apparence.
Charles Dupin (1784-1873) : économiste, mathématicien et homme politique français.

1) Cyclides ellipto-hyperboliques.
L'ellipse et l'hyperbole confocales étant :

avec

.
La paramétrisation cartésienne de la cyclide par la double famille des cercles de courbure est :

où d est tel que les cercles directeurs soient de rayons

.
la normale en M est la droite (I₁I₂) avec

sur l'ellipse et

sur l'hyperbole.
Équation cartésienne

Surface quartique.bisphérique.rationnelle.

pb : caractéristiques du tore associé (est il unique ?)

Cas particuliers :
a = b (c = 0) : tore
d = 0 : double croissant symétrique
0 < d < b : double croissant (horn cyclide)
d = b : croissant simple
b < d < a : cyclide en anneau (ring cyclide)
d = a : cyclide en anneau à trou nul.
d > a : cyclide croisée interne (spindle cyclide)

2) Cyclides paraboliques.
Les paraboles confocales étant :

et ,
La paramétrisation cartésienne de la cyclide par la double famille des cercles de courbure est :
(k³ 1/2) les cercles directeurs étant de rayons kp/2 et (1 - k )p/2.
Plans des cercles de courbure : et .
La normale en M est la droite (I₁I₂) avec sur la première parabole, et sur la deuxième.
Équation cartésienne : .

Surface cubique sphérique rationnelle.

Cas particuliers :
k = 1/2 : cyclide parabolique en anneau à cercles directeurs isométriques.
1/2 £ k < 1 : cyclide parabolique en anneau.
k = 1 : cyclide parabolique en croissant simple.
k > 1 : cyclide parabolique en croissant double.

1) Première définition : les cyclides de Dupin sont les inverses de tore ;
l'on peut, à similitude près, se limiter à une inversion centrée dans le plan de symétrie orthogonal à l'axe du tore ???

Elles sont dites en anneau, ou croisées suivant que le tore correspondant a ces propriétés.
Elles sont bornées et algébriques de degré 4 lorsque le centre d'inversion n'est pas sur le tore, non bornées et de degré 3 ou 2 sinon.
Les cyclides comprennent comme cas limites les tores (pouvant se réduire à une sphère), les cônes de révolution (inverses des tores croisés par rapport à un des deux points coniques), les cylindres de révolution (inverse d'un tore à trou nul par rapport à son centre).

Les cyclides de degré 4 prennent trois formes différentes :

- soit en anneau (tore non croisé) :

- soit en double croissant (tore croisé, centre d'inversion "intérieur" au tore) ; ce sont les inverses de cône de révolution :

avec le cas particulier du double croissant symétrique (centre d'inversion situé à une distance

de O dans le plan Oxy)

- soit en forme croisée interne (tore croisé, centre d'inversion extérieur au tore) :

avec les deux cas limites :
- du croissant simple (inverse d'un cylindre de révolution) :

- du trou nul :

Les cyclides de degré 3 prennent deux formes différentes :
- soit en anneau (tore non croisé) :

- soit en croissant double (tore croisé):

Avec le cas limite du croissant simple :

Ces cyclides sont enveloppe de la famille des sphères inverses des sphères tangentes intérieurement au tore et de la famille des sphères inverses des sphères tangentes extérieurement au tore.

Le lieu des centres de ces sphères est la réunion de deux coniques confocales orthogonales (i. e. dont les foyers de l'une sont les sommets de l'autre) qui est la focale de la cyclide, ainsi que sa déférente complète.
Dans le cas borné, ces deux coniques sont une ellipse et une hyperbole, d'où l'appellation : "cyclide ellipto-hyperbolique" :

Dans le cas non borné, ce sont deux paraboles, d'où l'appellation "cyclide parabolique" :

Les droites joignant deux points de chaque conique confocale sont les normales à la cyclide.
La sphère centrée sur l'une des coniques dont la cyclide est l'enveloppe est tangente à la cyclide en un cercle qui est l'intersection de cette sphère avec le cône de sommet le centre de la sphère et de directrice l'autre conique.

On obtient ainsi une double famille de cercles (également inverses des cercles de courbure du tore) qui sont les lignes de courbure de la cyclide (avec deux deux droites supplémentaires dans le cas hyperbolique).
Dupin a montré que ceci caractérisait ses cyclides :

2) Deuxième définition : les cyclides de Dupin sont les surfaces dont les lignes de courbures sont des cercles (exceptionnellement des droites).
On conjecture que ce sont les seules surfaces ayant une double génération par des cercles, les deux familles de cercles étant orthogonales.
Remarquons que les cyclides de Dupin en anneau possèdent deux autres familles de cercles, inverses des deux familles de cercles de Villarceau du tore (cf. cet article).

3) Troisième définition : les cyclides de Dupin sont les enveloppes de sphères centrées sur une conique (la déférente) et orthogonales à une sphère fixe (la sphère d'inversion) centrée sur l'axe focal de la conique. Cette définition montre que les cyclides de Dupin sont bien des cyclides.

4) Quatrième définition : les cyclides de Dupin sont les enveloppes des sphères tangentes (d'une certaine sorte) à deux cercle-droite d'un plan, et centrées dans ce plan. Les centres des sphères décrivent l'une des coniques déférentes.
Il existe une deuxième génération de ce type et les centres des 4 cercles obtenus (les cercles directeurs) sont les foyers des coniques confocales associées.
On obtient
- la cyclide en anneau dans les cas suivants (déférentes en rouge, cercles directeurs en bleu) :

cercles directeurs emboités, la déférente est une ellipse
cercles extérieurs l'un à l'autre, la déférente est une hyperbole

les cercles horizontaux sont emboités, les cercles verticaux sont extérieurs

- la cyclide croisée interne dans les cas :

cercles directeurs emboités
cercles directeurs sécants

les cercles horizontaux sont emboités, les cercles verticaux sont sécants

- la cyclide en croissant double dans les cas :

cercles directeurs sécants
cercles directeurs extérieurs

les cercles horizontaux sont sécants, les cercles verticaux sont extérieurs

5) Cinquième définition (de Maxwell) : les cyclides de Dupin sont les enveloppes de sphères de rayons R et centrées en M sur une conique de foyer F telles que la distance FM + R, ou la distance FM - R soit constante (????)

Ceci peut se visualiser dans le premier cas par l'ensemble des extrémités d'une ficelle tendue de longueur constante acrrochées à l'autre extrémité en F et passant par la conique.

Cette définition permet de voir facilement que les surfaces parallèles à une cyclide de Dupin sont encore des cyclides de Dupin, propriété qui a récemment fait redécouvrir ces cyclides pour des applications industrielles.

6) Sixième définition : les cyclides de Dupin sont les surfaces enveloppes des sphères tangentes à trois sphères fixes.

7) Septième définition : les cyclides de Dupin sont les projections stéréographiques du tore de Clifford (inclus dans S³).

Quelques modèles en plâtre, tirés de ce site japonnais :

cyclide en anneau
cyclide croisée interne

cyclide en croissant
cyclide en croissant double

cyclide parabolique en anneau dans le cas de deux cercles directeurs isométriques.
L'extérieur de ce solide est un solide isométrique ...
cyclide parabolique en croissant double

Les liposomes ont des formes de cyclides ; voir à surface de Willmore.

Boucles d'oreilles de ma voisine...

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