Surface de Kummer

SURFACE DE KUMMER
Kummer's surface, Kümmersche Fläche

Surface étudiée par Kummer en 1864.
Ernst Kümmer (1810 - 1893) : mathématicien allemand.

Équation cartésienne : où
de sorte que pqrs = 0 est l'équation de la réunion des faces prolongées d'un tétraèdre régulier centré en O et dont les arêtes sont à distance a de O (cf figure de droite).
Surface quartique.

La surface de Kummer est la surface d'équation ci-dessus ; lorsque , elle possède 16 points singuliers ordinaires (i. e. non dégénérés), nombre maximal pour une surface quartique ; les 16 points sont réels pour .

Ci-contre, vue du cas , donc ; la surface est composée d'un "tétraèdre" central, prolongé de 4 petits "tétraèdres", eux même reliés par 6 nappes infinies, en parallèle avec les 6 "arêtes " du tétraèdre central.
Les 16 points singuliers sont les "sommets" des 4 petits "tétraèdres".

Le cas , donc donne la surface romaine ; les 6 nappes infinies ont disparu, ainsi que le tétraèdre central, et les 4 petits tétraèdres se sont accolés, faisant apparaitre 3 segments doubles. cas mu = 1,1

REM : la surface de Kummer a pour équation dans un repère tourné de 45° autour de Oz :

Si l'on remplace les coefficients des termes homogènes ci-dessus par des coefficients quelconques, on obtient l'équation générale des surfaces de degré 4 ayant les symétries du tétraèdre ou du cube (voir à surface de Goursat).

D'autre part, on peut désigner par "surface de Kummer" toute surface quartique ayant 16 points singuliers ordinaires.

Voir aussi la sextique de Barth, qui est l'équivalent de degré 6 de la surface de Kummer.

Surface de Kummer par Patrice Jeener
Surface de Kummer par Alain Esculier,
anaglyphe à regarder avec des lunettes rouge-cyan.
Sont figurés les quatre cercles intersections avec les 4 plans p=0, q=0, r=0, et s=0, et tracés sur la sphère x²+y²+y² = mua²

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