1)  Surfaces auto-parallèles.

Une surface auto-parallèle est une surface connexe parallèle à elle-même (avec une distance non nulle).

Exemples :
    - la sphère est parallèle à elle-même avec une distance de parallélisme égale à son diamètre.

    2) Surface de largeur constante.

Etant donné un convexe compact K de l'espace, on définit sa largeur dans une direction de droite D comme la longueur de la projection orthogonale de K sur D, longueur qui est aussi la plus petite largeur d'une bande orthogonale à D et contenant K, ou, ce qui revient au même, la distance entre deux plans d'appui du convexe K qui sont orthogonaux à D .

Le convexe K est alors dit "de largeur constante" si cette largeur ne dépend pas de la direction  D et une surface est dite "de largeur constante" si elle est la frontière d'un convexe compact de largeur constante. Une autre façon de définir le fait que K soit de largeur constante est qu'on puisse le faire tourner continuement d'un demi-tour à l'intérieur d'une bande fermée de sorte que les deux bords de la bande restent constamment en contact avec K .
1) X est convexe compacte et toute projection de X sur une droite a pour
longueur d.

 2) X est convexe compacte et la borne inférieure des largeurs des bandes
fermées de direction donnée contenant X est d.

3) X est convexe compacte et deux droites d'appui distinctes parallèles
sont distantes de d.
4) X est convexe compacte de diamètre d et deux droites d'appui distinctes
parallèles D1 et D2 sont telles qu'il existe A1 de X
inter D1 et A2 de X inter D2 avec (A1 A2) orthogonale à D1.
5) X est convexe compacte et la borne supérieure des longueurs des
segments de direction donnée inclus dans X est d.
6) X est convexe de diamètre d et il existe toujours un segment de
direction donnée et de longueur d inclus dans X.
7) X est de diamètre d et est maximale pour l'inclusion parmi les parties
de diamètre d.
 

Le lien avec le 1) vient de ce que toute surface auto-parallèle (avec une distance de parallélisme d) convexe (i.e. frontière d'un convexe compact) est une surface de largeur constante d .
 
 
 
 

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© Robert FERRÉOL 2003