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ROULETTE DE DELAUNAY
Delaunay's roulette, Delaunaysche Roulette
Courbe étudiée par Delaunay, 1841 ; Lindelöf,
1861.
Charles-Eugène Delaunay (1816 ; 1872) : astronome français. Autres noms : chaînette elliptique, parabolique, hyperbolique. |
Équation différentielle : e = -1 pour la roulette hyperbolique (hyperbole de demi-axes a et b), . Abscisse curviligne : , d'où la normale : . Rayon de courbure : (de sorte que , courbure moyenne de la surface de Delaunay associée). Paramétrisation cartésienne dans le cas elliptique : où , e = c / a et E fonction elliptique de deuxième espèce. Abscisse curviligne : . Longueur sur une période : .
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On appelle roulette de
Delaunay le lieu d'un des foyers d'une conique roulant sans glisser sur
une droite ; on la désigne par roulette elliptique, parabolique
ou hyperbolique suivant que la conique est une ellipse, une parabole
ou une hyperbole.
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Prenant Ox comme axe de roulement, la roulette de Delaunay est une courbe oscillant entre les droites et ; sur la droite y = b se trouvent dans le cas elliptique des points d'inflexion avec une pente égale à et des points à tangente verticale dans le cas hyperbolique. La période de y en fonction de x est donnée par l'intégrale elliptique l(2p) ; c'est la longueur de l'ellipse dans le cas elliptique.
L'ingénieux mécanisme articulé suivant
permet de tracer les roulettes de Delaunay :
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Ces courbes ont été considérées par Delaunay car elles ont la propriété d'être les seules courbes méridiennes des surfaces de révolution à courbure moyenne constante, lesquelles surfaces sont les surfaces de Delaunay.
voir www.gang.umass.edu/cmc/cmcgallery02.html et cmcgallery01.html
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© Robert FERRÉOL, Jacques MANDONNET 2001