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COURBE BRACHISTOCHRONE
Brachistochrone (or brachistochronous) curve, brachistochrone Kurve

Courbe étudiée et ainsi dénommée par Jean Bernoulli en 1718 et Euler en 1736.
Du grec brakhisto "le plus court" (s'écrit donc avec un i et non un y) et chronos "temps".

 
Équation fonctionnelle :  minimal (équation provenant du fait que la vitesse du mobile est proportionnelle à ).
Équation différentielle (condition de Lagrange) : .
Mouvement : , où , et où   est défini par .
Temps de parcours : Q est défini ci-dessus.
Temps en ligne droite :  ; temps par le chemin coudé :  ().

Une courbe brachistochrone est une courbe sur laquelle doit glisser sans frottement et sans vitesse initiale, un point matériel pesant placé dans un champ de pesanteur uniforme de sorte que le temps de parcours  soit minimal parmi toutes les courbes joignant deux points O et A fixés (ici A(a, -b)).

Réponse pour a > 0 (résultat trouvé en même temps par Leibniz, Newton, L'Hospital, Jean et Jacques Bernoulli) : un arc de cycloïde commençant avec une tangente verticale.

Il est remarquable que si la pente b/a entre O et A est inférieure à 2/p » 63%, correspondant à un angle de »32 ° avec l'horizontale, la courbe la plus rapide possède, comme dans la figure ci-dessus, une portion qui remonte !

Ceci vaut à la limite si les points O et A sont à la même altitude, auquel cas la ligne droite donnerait un temps de parcours infini.

Pour , on trouve un temps de descente 
   - de  pour la cycloïde, 
   - de  pour un arc de cercle (non représenté ci-contre), 
   - de   pour la ligne droite, 
   - de  pour une chute libre suivie d'un parcours horizontal (qui est donc battu par la ligne droite contrairement à ce qui se passe dans l'animation en haut de page).

 
Ici les deux boules sont côte à côte un moment, puis la bleue suit une ligne droite horizontale ; la cycloïde est toujours la plus rapide !
Animation dédiée à la rédaction des "incroyables expériences" de France 2 qui a du mal à accepter le phénomène...
Jean Bernoulli avait posé le problème sous une forme légèrement différente : trouver la courbe minimisant le temps de parcours en partant d'un point O à vitesse nulle et en arrivant à un plan vertical (en un point indéfini) : la réponse est une demi-arche de cycloïde à départ vertical et à arrivée horizontale et perpendiculaire au plan ; 
à l'arrivée, le mobile sera donc descendu d'une hauteur égale à  fois la distance de O au plan.

la cycloïde rouge bat les deux autres

 
Les concepteurs de rampes de skate savent-ils que la rampe la plus rapide a une forme de cycloïde ?

Généralisations :
On peut considérer des courbes brachistochrones tracées sur des surfaces.
On peut aussi chercher les courbes brachistochrones obtenues pour diverses lois de vitesse.
Ici , mais pour le cas plus général , la brachistochrone a pour équation différentielle .
Si , la brachistochrone obtenue est cette fois un arc de cercle.
Si maintenant la vitesse ne dépend que de la distance à O (), la brachistochrone a pour équation différentielle .
Pour , la brachistochrone est la spirale logarithmique ; ce cas correspond à un mobile situé dans un référentiel en rotation uniforme autour d'un point O (donc soumis à la force centrifuge), dans le cas où la vitesse est nulle en O. Si la vitesse nulle est prise à une distance r de O , alors  ; la brachistochrone est alors une épicycloïde. Ceci peut avoir des applications sur la forme du chistera de la pelote basque, de sorte que la balle ait, à la sortie, la vitesse maximale.

Pour d'autres courbes de mouvement d'un point matériel dans un champ de pesanteur soumises à certaines conditions, voir à isochrone, tautochrone, synchrone, synodale, et courbe à réaction constante.
 
 
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© Robert FERRÉOL, Jacques MANDONNET 2009