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COURBE CISSOÏDALE
Cissoid curve, kissoidale kurve


Du grec Kissos : lierre.

 
Équation polaire de la cissoïdale de pôle O des courbes  et 
.

La (courbe) cissoïdale de deux courbes  et  relativement à un point O est le lieu  des points M tels que   où M1 est un point de  et M2 un point de , M1 et  M2  étant alignés avec O.

La cissoïdale est donc la courbe médiane de pôle O des courbes  et  images de  et  par une homothétie de centre O et de rapport 1/2.


En pointillé, les courbes (G1) et (G2), en bleu, les courbes (G'1) et (G'2) dont la cissoïdale est la médiane.
Remarque : la cissoïdale de la cissoïdale et de la symétrique par rapport à O de l'une des deux courbes de départ est l'autre courbe de départ.

On définit parfois la cissoïdale comme le lieu des points tels que  ; cela revient bien sûr à changer  en sa symétrique par rapport à O, par rapport à la définition que nous avons prise.

Exemples :
 - lorsque  et  sont deux droites parallèles, la cissoïdale est une troisième droite parallèle.
 - lorsque  et  sont deux droites sécantes, les cissoïdales sont des hyperboles passant par O, d’asymptotes  et .

En mauve, les deux droites, et en bleu leurs homothétiques dont l'hyperbole est la médiane
 - lorsque  est un cercle et que O est le centre de ce cercle, on obtient les conchoïdes de la courbe .
 - lorsque  est une conique,  une droite, O sur la conique, on obtient les cissoïdales de Zahradnik.
 - lorsque  et  sont des cercles et O est sur l'un des cercles, on obtient les quartiques bicirculaires rationnelles.
 - Lorsque  et  sont des cercles et que O est le milieu des centres, on obtient les courbes de Booth, dont la lemniscate de Bernoulli est un cas particulier.

 - Le folium parabolique est la cissoïdale d'une droite et d'une parabole semi-cubique.

    - les scarabées sont les cissoïdales de cercle et trèfle à 4 feuilles.

Remarque : lorsque les deux courbes  et  sont confondues, la cissoïdale comprend l'homothétique de cette courbe de centre O et de rapport deux, mais aussi éventuellement une autre partie (car les points M1 et M2 peuvent être distincts).
 
 
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© Robert FERRÉOL, Jacques MANDONNET 2005