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COURBE PSEUDO-CYCLOÏDALE, PARACYCLOÏDE, HYPERCYCLOÏDE
Pseudocycloidal
curve, paracycloid, hypercycloid, Pseudozykloidale Kurve, Parazykloid,
Hyperzykloid
Courbes étudiées par Euler en 1750 et 1783, Césaro en 1887. |
Les courbes pseudo-cycloïdales sont les courbes vérifiant une équation intrinsèque du type , par analogie avec les courbes cycloïdales, qui vérifient, elles : . Autrement dit, ce sont les courbes, qui, roulant sans glisser sur une droite ont leur centre de courbure décrivant une hyperbole dont un axe est parallèle à la droite (voir à courbe de Mannheim).
Il y a deux cas, suivant le signe de la cte ci-dessus.
Premier cas, cte <0 : PARACYCLOÏDE
Paramétrisation cartésienne : .
Rayon polaire : . Angle tangentiel cartésien : . Abscisse curviligne : . Rayon de courbure : . Equation intrinsèque 1 : . |
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Deuxième cas, cte >0 : HYPERCYCLOÏDE (attention,
le terme hypercycloïde est aussi utilisé à la place
d'épicycloïde)
Paramétrisation cartésienne : .
Rayon polaire : . Angle tangentiel cartésien : . Abscisse curviligne : . Rayon de courbure :. Equation intrinsèque 1 : . |
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REMARQUE : la paracycloïde est l'antipodaire de la spirale du sinus hyperbolique , et l'hypercycloïde est l'antipodaire de la spirale du cosinus hyperbolique . De plus, elles sont développée l'une de l'autre.
Voir les géodésiques
du paraboloïde, qui sont des relèvement d'hypercycloïde.
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© Robert FERRÉOL 2018