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SPIRALE DE STURM
Sturm
spiral, Sturmsche Spirale
Courbe étudiée par Sturm
en 1857 et Masurel
en 2014.
Autre nom, dans cet article : courbe de Mannheim. |
Les spirales de
Sturm sont les courbes telles que le rayon de courbure est en tout point
proportionnel à la distance à un point fixe : .
Le cas particulier e = 1 est étudié
à spirale de Norwich.
Équation différentielle :
(p est le rayon podaire).
Intégrale première : , d'où l'équation polaire : . |
Si a = 0, alors , qui n'est autre qu'une spirale logarithmique, avec le cas limite du cercle pour e = 1 (pas de solution pour e < 1). | |
Cas elliptique, e<1
Paramétrisation cartésienne : où . Paramétrisation complexe : (il s'agit donc d'une tritrochoïde). Abscisse curviligne : . Angle tangentiel cartésien : . Rayon de courbure : Lorsque q est rationnel, l'ordre de la symétrie de rotation est égal au dénominateur de q moins 1. |
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Cas hyperbolique, e >1
Paramétrisation cartésienne : où . Abscisse curviligne : . Angle tangentiel cartésien : . Rayon de courbure : . |
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Propriétés remarquables (y compris dans
le cas e = 1) :
- La roulette
à base rectiligne d'une spirale de Sturm est une courbe
de Duporcq de même paramètre e (d'où l'utilisation
de cette lettre e, associée à l'excentricité
d'une conique).
- la développée de la
spirale de Sturm dans le cas elliptique est une épicycloïde
- la développée de la
spirale de Sturm dans le cas hyperbolique est une para-
ou une hypercycloïde.
Considérons maintenant les courbes telles que la courbure est proportionnelle à la distance à un point fixe ; l'équation différentielle donne comme intégrale première , d'où l'équation polaire : ; | |
Le cas c = 0, donne qui n'est autre qu'une lemniscate de Bernoulli. |
La courbure d'une lemniscate est proportionnelle à la distance au centre. |
Enfin, l'une des solution de est la cardioïde. |
Comparer avec la courbe
élastique, ou radioïde aux abscisses, courbe telle que
la courbure est proportionnelle à la distance à une droite
fixe.
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© Robert FERRÉOL
2015