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COURBE SYMÉTRIQUE D'UNE COURBE PAR RAPPORT À UNE AUTRE
Symmetric curve of a curve with respect of an other one, symmetrische Kurve einer Kurve zu einer anderen

La rouge est la symétrique de la bleue par rapport à la verte


Sur une idée de Robert March.

 
Obtention de  : écrire , u et v étant liés par .
Cas particulier où  est l'axe Ox.

 
La courbe symétrique d'une courbe  par rapport à une courbe  est le lieu des symétriques  des points  de la courbe  par rapport à la tangente à  en un point M situé sur la normale à  en .
C'est donc aussi, en général, la deuxième partie de l'enveloppe des cercles centrés sur  et tangents à  (chaque cercle ayant deux points caractéristiques).

On peut aussi la voir comme la courbe  telle que la courbe d'équidistance entre  et  est incluse dans .
Seulement "incluse" comme on peut le voir sur l'exemple ci-contre : les deux demi-cercles bleus et rouge sont symétriques par rapport au diamètre vert, mais la "courbe" d'équidistance est réduite au centre.

Quelques propriétés :
Si  est une droite, on obtient bien sûr la symétrie axiale classique.
Comme pour cette dernière, cette symétrie est "en général" involutive : si la correspondance entre  et  est bijective, la symétrique de  est .
Deux courbes parallèles, ont des symétriques parallèles (avec le même écart).
Deux courbes sécantes ont des symétriques se coupant sous le même angle qu'elles (avec inversion du signe).
La courbe symétrique d'une courbe par rapport à sa développée est elle-même.

Exemples :
 
Si  est réduite à un point O, son symétrique par rapport à  n'est autre que l'orthotomique de  par rapport à O.
On en déduit que la symétrique par rapport à  d'une courbe parallèle à l'orthotomique de  par rapport à O est un cercle centré en O.
Par exemple les symétriques des droites parallèles à la directrice d'une parabole, par rapport à cette parabole, sont des cercles centrés au foyer (l'orthotomique d'une parabole par rapport à son foyer étant la directrice).

La courbe symétrique de la tangente au sommet d'une parabole, 
par rapport à cette parabole, est le cercle centré au foyer et tangent au sommet.
De même, les symétriques des cercles centrés en un foyer d'une conique à centre, par rapport à cette conique, sont des cercles centrés à l'autre foyer (l'orthotomique de cette conique par rapport à un foyer étant le cercle directeur centré en l'autre foyer).
La néphroïde est la symétrique d'un diamètre d'un cercle par rapport à ce cercle.
Plus généralement, l'épicycloïde et l'hypocycloïde ayant les mêmes rebroussements sont symétriques par rapport au cercle de base.
Ceci vient du fait que si deux courbes roulent symétriquement sur une courbe, les roulettes correspondantes sont symétriques par rapport à cette courbe.

Ci-contre, l'astroïde, et l'épicycloïde à 4 rebroussements sont symétriques par rapport au cercle de base.
 

Même chose pour les épi- et hypo-trochoïdes.
Ci-contre, le cas raccourci, et le cas alllongé.
Symétrique de l'axe d'une sinusoïde, par rapport à cette sinusoïde.
Paramétrisation : .

Ci-dessous, quelques curiosités : des symétiques de courbes, par rapport à elles-mêmes (parabole, ellipse, hyperbole, deltoïde).
Seule la première a une équation simple :

 
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© Robert FERRÉOL  2016