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CUBIQUE DE TSCHIRNHAUSEN
Tschirnhausen's cubic, Tschirnhausensche Kubik

Courbe étudiée par Tschirnhausen en 1690, L'Hospital en 1696 et Catalan en 1832.
Autres noms : trisectrice de Catalan, cubique de L'Hospital, orthogénide [?loria].
Ehrenfried Tschirnhausen (1651-1708) : physicien et géomètre allemand.

 
Dans (O) :
Équation cartésienne : .
Paramétrisation cartésienne : 
Cubique polynomiale à point double.
Le sommet est A(9a, 0) et le point double O.
Autre paramétrisation cartésienne partielle (en gras ci-contre) : 

Équation cartésienne dans (F) (où F(8a, 0) est le foyer de la parabole podaire, d'équation , et p = 2a son paramètre) :
Équation polaire : .
Paramétrisation cartésienne : ( t = tan(q/3)).
Aire de la boucle : .

 
La cubique de Tschirnhausen est lantipodaire de la parabole par rapport à son foyer F, et la caustique par réflexion de cette même parabole pour des rayons lumineux perpendiculaires à l'axe de la parabole (ces deux propriétés étant liées, grâce à la propriété de la tangente à la parabole).

On montre même que la caustique par réflexion de la parabole est une cubique de Tschirnhausen quelle que soit la direction des rayons, sauf lorsqu'ils sont parallèle à l'axe de la parabole auquel cas on obtient le foyer.

La cubique de Tschirnhausen est aussi caustique par réflexion de la parabole semi-cubique pour des rayons perpendiculaires à son axe.
Elle est donc aussi la courbe suivie par un chien cherchant à rattraper son maître avec une vitesse double de lui.
Elle est aussi, à dilatation près, la projection de la parabole gauche : sur le plan x+z = 0.
Si (D) est la droite perpendiculaire à l'axe de symétrie, de pied K défini par , la cubique de Tschirnhausen est le lieu des points M vérifiant; par analogie avec les coniques, la droite (D) sera appelée la directrice de la cubique et F le foyer.

Léquation cartésienne montre que la cubique de Tschirnhausen est un cas particulier de parabole divergente et léquation polaire que cest un cas particulier de spirale sinusoïdale.

C'est une trisectrice (voir Brocard Lemoyne III p.140).

La surface d'Enneper est la surface minimale contenant la cubique de Tschirnhausen comme géodésique.
 
 
La roulette du foyer d'une cubique de Tschirnhausen roulant sur une droite est une parabole.

La glissette de ce même foyer est une cubique duplicatrice.

La roulette du pôle d'une spirale de Galilée : roulant sur une cubique de Tschirnhausen est rectiligne (on est donc en présence d'un couple roue-route).
La droite suivie est la normale double à la cubique.

La cubique de Tschirnhausen, qui est aussi celle de L'Hospital, n'est pas à confondre avec la quintique de ce dernier.
 
 
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© Robert FERRÉOL  2013