Paramétrisation cartésienne : . Courbe sphérique, algébrique ssi q = a/ b est rationnel (degré = 2(numérateur + dénominateur de q)).

Une trochoïde sphérique est le lieu d'un point du plan mobile emmené par un cercle roulant sans glisser sur un cercle fixe, les deux cercles faisant un angle constant w ; ici, a est le rayon du cercle fixe,  b celui du cercle mobile, d la distance du point au centre du cercle mobile et xOy le plan du cercle fixe.

Pour d = b, on retrouve la cycloïde sphérique, d'où les expressions parfois utilisées de cycloïde sphérique allongée (d > b) ou raccourcie (d < b) pour les trochoïdes sphériques.

Lorsque w = 0, on retrouve l’hypotrochoïde plane, et lorsque w = p, l’épitrochoïde plane ; hormis ces deux cas, la trochoïde est tracée sur une sphère fixe, d’où son nom de trochoïde sphérique. Le centre W de cette sphère est le point de Oz de cote  et son rayon .

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On peut aussi définir les trochoïdes sphériques comme les trajectoires d’un mouvement qui est composé de deux mouvements circulaires uniformes dont les axes sont sécants.
Plus précisément, la trochoïde est la trajectoire de l'extrémité M d'un bras articulé WPM, où W est fixe, P a un mouvement circulaire autour d'un axe passant par W, et M a un mouvement circulaire autour de l'axe (WP).

Remarque : la trajectoire d'un point de la terre par rapport au soleil n'est pas une trochoïde sphérique, car l'axe de la terre reste parallèle à lui-même ; il n'est pas en rotation autour de l'axe de rotation de la terre autour du soleil.

Autre caractérisation : les trochoides sphériques sont les roulettes d'un mouvement sphère sur sphère dont la base et la roulante sont des cercles.
 

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© Robert FERRÉOL  Alain ESCULIER 2007