Entrelacs

ENTRELACS
link (or interlacing), Verschlingung

Un entrelacs est un ensemble fini de noeuds enlacés. Plus précisément, c'est une classe d'équivalence d'ensembles finis de courbes de R³ fermées sans point double et sans points communs, deux ensembles de courbes étant équivalents si on peut déformer dans R³ chaque courbe de l'un en une courbe de l'autre, de façon continue, chaque courbe restant constamment fermée sans point double et sans point commun avec une autre tout au long de la transformation.

Le nombre de croisements d'un entrelacs est le nombre minimum de points doubles des projections planes sans point d'ordre supérieur ou égal à 3 de ses représentations. Les entrelacs dont une représentation est sans croisement sont dit triviaux.

La somme de deux entrelacs étant l'entrelacs obtenu en coupant un brin de chacun des deux entrelacs et en recollant les bouts, on définit un entrelacs premier comme ne pouvant être somme de deux entrelacs non triviaux.

Voici la table des premiers entrelacs premiers :

Table plus complète dans l'atlas des noeuds.

Exemples :

Le plus simple des entrelacs : celui de Hopf 2₁² qui est aussi l'entrelacs torique de type(2,2), pouvant se généraliser à n anneaux comme ceux des jeux.
Entrelacs 4₁²qui est aussi l'entrelacs torique de type(4,2).

Entrelacs de Whitehead 5₁²
Entrelacs 6₁²ou sceau de Salomon, polygramme {6/2} entrelacé ou entrelacs torique (6,2).

Anneaux de Borromée 6₂³ Faux anneaux de Borromée : le premier n'est autre qu'une chaîne de Hopf à 3 anneaux (qui n'est même pas un entrelacs premier) et le deuxième le 6₃³ (chaque anneau est enlacé avec chaque autre).

Voir aussi les entrelacs brunniens, qui deviennent triviaux lorsque l'on supprime l'une des composantes.

Voici quelques entrelacs de tissage :

Les nattes ci-dessus sont carrées ; dans le cas général de nattes rectangulaires de côtés p, q, le nombre de brins est pgcd(p,q).

On pourra remarquer que ce tissage est en fait un entrelacs trivial. C'est d'ailleurs la raison pour laquelle il est réalisable sans déchirure !

Superbe entrelacs d'hexagones provenant de la cité interdite de Pékin.
Serpents, de M.C. Escher : Un entrelacs hyperbolique !

Liens :

Site de Christian Mercat, pour apprendre à créer soi-même des entrelacs : www.entrelacs.net/
logiciel pour mac : perso.wanadoo.fr/hypatiasoft/#mozTocId732517
www.math.utk.edu/~morwen/index.html
www.cgl.uwaterloo.ca/~csk/projects/starpatterns/
www.ulb.ac.be/soco/matsch/recherche/11/noeuds/noeuds03.htm
www.clanbadge.com/knots.htm

Deux noeuds de trèfle enlacés

courbe suivante courbe précédente courbes 2D courbes 3D surfaces fractals polyèdres

Le plus simple des entrelacs : celui de Hopf 2₁² qui est aussi l'entrelacs torique de type(2,2), pouvant se généraliser à n anneaux comme ceux des jeux.	Entrelacs 4₁²qui est aussi l'entrelacs torique de type(4,2).
Entrelacs de Whitehead 5₁²	Entrelacs 6₁²ou sceau de Salomon, polygramme {6/2} entrelacé ou entrelacs torique (6,2).
Anneaux de Borromée 6₂³	Faux anneaux de Borromée : le premier n'est autre qu'une chaîne de Hopf à 3 anneaux (qui n'est même pas un entrelacs premier) et le deuxième le 6₃³ (chaque anneau est enlacé avec chaque autre).