Le plan fixe étant xOy , condition différentielle :
soit en coordonnées cartésiennes :
Paramétrisation cartésienne connaissant la base de l'hélice, de paramétrisation  :
Rayons de courbure et de torsion,  étant le rayon de courbre de la base :	et
Équation cylindrique des hélices tracées sur la surface de révolution   :

Les hélices sont les courbes dont les tangentes font un angle constant a avec un plan fixe (P₀), ou avec une direction fixe d (orthogonale à (P₀)).

La notion d'hélice en mathématiques a donc plus de rapport avec une route de montagne de pente constante qu'avec une hélice de bateau...

Conditions équivalentes:
 - courbe dont l'indicatrice sphérique de courbure est plane (donc incluse dans un cercle).
 - courbe dont les normales principales restent parallèles à un plan fixe (égal à (P₀)).
 - courbe dont les binormales font un angle constant avec une direction fixe (la même que les tangentes).
 - courbe dont l'indicatrice sphérique de torsion est plane (donc incluse dans un cercle).
 - courbe dont la torsion est proportionnelle à la courbure.
 - trajectoire d'un mouvement dont les vecteurs dérivés second, troisième et quatrième sont coplanaires.
 - géodésique d'un cylindre (le cylindre engendré par les parallèles à d) - autrement dit, si l'on développe le cylindre sur lequel l’hélice est tracée, l'hélice devient une droite.

Une hélice est entièrement définie par la donnée de sa projection dans (P₀) (sa base) et l'angle a.

Exemples (on notera que les hélices sont désignées soit par rapport à leur base, soit par rapport à la surface sur laquelle elles sont tracées) :
    - la droite (les droites d'une surface sont donc des hélices de cette surface)
    - l'hélice circulaire (base = cercle)
    - l'hélice conique (base = spirale logarithmique)
    - l'hélice elliptique (base = ellipse)
    - l'hélice sphérique (base = épicycloïde)
    - l'hélice du paraboloïde (base = développante de cercle).
 

- l'hélice de Catalan (base = chaînette ) : () ; elle est tracée sur le cylindre hyperbolique  , ainsi que sur la surface , qui est de révolution pour a = b. Courbe étudié par Catalan en 1878.

 

Exemple de détermination des hélices d'une surface : celles de  l'hyperboloide : x² + y² = z² +1, paramétré par x = ch u cos v, y = ch u sin v, z = sh u. On écrit que sin² a  ds² = dz²,  soit dx² +dy² = dz² cot² a, soit ici :  sh² u du² +ch²u dv² = ch² u cot² a du² soit    racine(cot²a - th² u) du = dv, d'où l'on tire v en fonction de u. Pour a = pi/4 on retrouve les droites incluses. Ci-contre ont été tracées les hélices pour cot a = 2.

Voir aussi les surfaces d'égale pente.
 
 

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courbes 3D

surfaces

fractals

polyèdres

© Robert FERRÉOL 2006