Courbe étudiée par Jeffery 1885.

 

Paramétrisation cartésienne : . Courbe sphérique, algébrique ssi q est rationnel (degré = 2(numérateur + dénominateur de q)).

Une trochoïde sphérique est le lieu d'un point lié à un cercle roulant sans glisser sur un cercle fixe, les deux cercles faisant un angle constant w ; ici, a est le rayon du cercle fixe,  celui du cercle mobile et  xOy le plan du cercle fixe.
 
 

Lorsque w = 0, on retrouve l’hypotrochoïde, et lorsque w = p, l’épitrochoïde ; hormis ces deux cas, la trochoïde est tracée sur la sphère commune au cercle de roulement et au cercle roulant, d’où son nom de trochoïde sphérique. Le centre W de cette sphère est le point de Oz de cote  et son rayon .

Sauf cas de dégénérescence, la cycloïde sphérique est donc aussi le lieu d'un point d'un cône de révolution roulant sans glisser sur un cône de révolution de même sommet : ces deux cônes sont les cônes de centre W contenant respectivement le cercle fixe et le cercle mobile.

Les cycloïdes sphériques sont des courbes formées d'arcs isométriques (les arches)  en nombre égal au numérateur du nombre q si q est rationnel et en nombre infini sinon. Les arches se rejoignent en des points de rebroussements, obtenus pour  situés sur le cercle de roulement, de cote 0, et ont des sommets situés sur le cercle de cote , de rayon .   Lorsque  et , soit , le cercle des sommets est de rayon inférieur ou égal à celui du cercle de base, et l'on parle alors d'hypocycloïde sphérique. Lorsque  et , soit , ou lorsque , le cercle des sommets est de rayon supérieur ou égal à celui du cercle de base, et l'on parle alors d'épicycloïde sphérique. Dans le cas intermédiaire , les cercle de base et des sommets ont même rayon, la courbe est une hélice sphérique ; dans ce cas, les sommets sont aussi des rebroussements, le cercle mobile est centré en W (c'est donc un grand cercle de la sphère) et roule sans glissser sur le cercle des sommets, et le cône roulant ci-dessus dégénère en un plan. Si l'on change q en q/(q + 1) et  en , les courbes ont même allure et les cercles des sommets ont même cote, mais ne sont pas égaux : contrairement au cas des épi- et hypocycloïdes planes, il n'y a pas de double génération.

cas  : hypocycloïde cas : épicycloïde                cas  : épicycloïde    cas  : hélice sphérique.   cas , en rouge, et , en bleu.

Cas particulier q = 1 (cercles de base et roulant de mêmes rayons) :
 

Paramétrisation cartésienne :

Les projections sur xOy, yOz, xOz sont respectivement une cardioïde, un arc de parabole et une goutte d'eau.

La courbe est l'intersection de la sphère  avec le cône de révolution tangent en son sommet à la sphère  ; c'est donc une biquadratique sphérique.

Les superbe modèles modèles ci-dessous, montrant la génération des cycloïdes sphériques par roulement cône sur cône sont tirés de ce site.
 

Chaque point des roues de ces cyclistes décrit une épicycloïde sphérique.

Les mouvements relatifs des engrenages coniques décrivent des épicycloïdes sphériques

 

courbe suivante

courbe précédente

courbes 2D

courbes 3D

surfaces

fractals

polyèdres

© Robert FERRÉOL  2006