Contrairement aux lignes géométriques, comme les lignes de courbure, asymptotiques et géodésiques, qui sont intrinsèques à la surface, les lignes topographiques d'une surface sont des lignes dont la définition est associée à une direction, dite verticale ; on définit en particulier les lignes de niveau, de pente, de déclivité extrémale, de talweg et de crête, et d'écoulement.
 

Exemples (en rouge les crêtes, en bleu les talwegs) :
 

Paraboloïde hyperbolique : xy = z. Projections horizontales des lignes de niveau : hyperboles xy = cte. Projections horizontales des lignes de pente : hyperboles x2 - y2 = k (tournées de 45° par rapport aux précédentes). Talweg (bleu) : y = -x. Crête (rouge) : y = x.
Cône elliptique : xy = z2. Projections des lignes de niveau : portions des hyperboles xy = k. Projection des lignes de pente : portions des hyperboles x2 - y2 = k . Remarque : les projections des lignes de niveau et de pente sont, dans le domaine xy >0, les mêmes que celles de la surface précédente, ce qui montrent que les projections des lignes de niveau et de pente ne sont pas caractéristiques de la surface.
Paraboloïde elliptique : x2 /2 + y2  = - z. Projections des lignes de niveau :  ellipses x2 /2 + y2  = k. Projection des lignes de pente :  paraboles y = k x2  plus x = 0. Les lignes de pentes singulières (en rouge) sont x = 0 et y = 0 mais seule la deuxième est ligne de crête.
Cône elliptique : x2  = zy. Projection des lignes de niveau : paraboles cte.y =  x2.  Projections des lignes de pente : ellipses x2 /2 + y2  = k. Niveau et pente s'échangent avec la surface précédente !
Surface d'équation : - z = PA + PB, où P est le projeté de M sur xOy. Projections des lignes de niveau : ellipses de foyers A et B. Projections des lignes de pente : hyperboles de foyers A et B.
Surface d'équation : z = PA -PB, où P est le projeté de M sur xOy. Projections des lignes de niveau : hyperbole de foyers A et B. Projections des lignes de niveau : hyperboles de foyers A et B. Il ya donc de nouveau échange niveau-pente avec la surface précédente.
Boîte à oeufs : z = sin x sin y. Projections de lignes de niveau :  sin x sin y = k. Projections des lignes de pente :  cos x = k cos y.
Surface z = y sin x. Projections des lignes de niveau : les sécantoïdes : y = k/sin(x). Projections des lignes de pente :  exp(y²) cos² x = k. Lignes de pente singulières : cos x = 0. Les lignes de pente passant par les cols exp(y²) cos² x = 1 ne sont pas des lignes de pente singulières...

 
 

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© Robert FERRÉOL , Jacques MANDONNET 2007