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HEXACONTAÈDRE TRAPÉZOÏDAL
Trapezoidal hexecontahedron, Deltoidhexakontaeder

Famille polyèdre semi-régulier de deuxième espèce, polyèdre de Catalan
Historique étudié par Catalan en 1862
Etymologie hexaconta = 60 ; les faces ne sont pas des trapèzes, mais des cerfs-volants ; il ne doit pas y avoir de terme grec ancien pour les cerfs-volants (chartaetós en grec moderne).
Autres noms hexacontaèdre deltoïdal, hexacontaèdre tétragonal
Dual rhombicosidodécaèdre
Faces 60 cerfs-volants formés de deux triangles isocèles d'angles au sommet  et .
Sommets 62, dont 20 sommets de degré 3, de code de Schläfli 43, 30 sommets de degré 4 de code 44 et 12 sommets de degré 5 de code 4
Les coordonnées des sommets sont données ci-dessous.
Arêtes 120, dont 60 arêtes de longueur a et 60 arêtes de longueur .
angle dièdre : .
Patron et graphe
Diamètres sphère inscrite : 3,42 ; sphère circonscrite 
Mensurations volume : 22,21 a3  aire : 38,92 a2.
coefficient isopérimétrique : 0,95.
Construction
icosidodécaèdre: augmenté sur chaque face d'une pyramide droite (20 pyramides triangulaires et 12 pentagonales)
La somme d'un icosidodécaèdre (en jaune ci-contre) et de son dual le triacontaèdre rhombique (en rouge ci-contre) donne un "polyèdre" (dont les faces sont des cerfs-volants gauches) équivalent à l'hexacontaèdre trapézoïdal (il est inscrit dans une sphère, et non circonscrit).
Groupe des isométries  = celui du dodécaèdre

 
Si l'on partage les 20 faces d'un icosaèdre en trois à partir du centre, ou les 12 faces d'un dodécaèdre en six à partir du centre, on obtient deux "polyèdres" (dont certaines faces sont coplanaires) ayant la structure de l'hexacontaèdre trapézoïdal.

On peut passer continûment de l'un à l'autre ; on obtient l'hexacontaèdre semi-régulier lorsque les angles dièdres entre les faces sont égaux.


 
Les hexacontaèdres intermédiaires ci-dessus ont pour sommets, en fonction du nombre d'or 
- les douze  et permutés (formant un icosaèdre), comme le point A ci-contre
- les six   et permutés circulaires et les vingt-quatre et permutés circulaires (formant un icosidodécaèdre), comme le point B ci-contre
- les huit  et les douze et permutés circulaires (formant un dodécaèdre), comme le point C ci-contre.

Le paramètre k variant de  k = 1/2 (cas de l'icosaèdre) à  (cas du dodécaèdre).

Le cas semi-régulier est obtenu pour , avec une longueur de grande arête .
Les points A et B sont cosphériques pour  (figure centrale).
Pour k = 2, on obtient un hexacontaèdre non convexe, à faces losanges, appelé "hexacontaèdre rhombique" (à droite).

Voir la page d'Alain Esculier expliquant le principe de cette expansion.

 

 

 
 
L'intersection de 6 prismes décagonaux réguliers pleins dont les axes sont les diagonales d'un icosaèdre (ou les diagonales faciales d'un dodécaèdre) forme un solide dont la surface est un polyèdre équivalent à l'hexacontaèdre, obtenu pour  dans la définition précédente.
Remarquer que chacune des 10 faces d'un prisme fournit 10 faces du polyèdre, qui possède donc bien 60 faces.

 

Les faces sont des cerfs-volants d'angles :
 
 

 

 
 
L'intersection de 6 cylindres de révolution pleins dont les axes sont les diagonales d'un icosaèdre (ou les diagonales faciales d'un dodécaèdre) forme un solide de Steinmetz dont la surface a une structure d'hexacontaèdre trapézoïdal (chaque cylindre forme un ruban composé de 10 "faces" du (faux) polyèdre) .

 
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© Robert FERRÉOL Alain Esculier, Robert March 2023