On considère un rectangle de longueur 2p et de largeur 1 quadrillé par mn rectangles avec m rectangles en largeur et n en longueur. Ce rectangle est courbé en un cylindre de hauteur 1 et de rayon 1 ; chaque petit rectangle curviligne possède 4 sommets et un centre (appartenant au cylindre) et définit donc 4 triangles plans. Le lampion de Schwarz  est la surface polyédrique dont les faces sont ces 4mn triangles (qui n'est un polyèdre au sens de ce site que si on lui rajoute deux couvercles).

Si l'on note  l'aire totale du lampion, alors tend bien vers l'aire du cylindre (2p) quand n tend vers l'infini, mais  tend vers l'infini.

Par conséquent l'aire du cylindre n'est pas la borne supérieure des aires des surfaces polyédriques inscrites dans ce cylindre (alors que la longueur du cercle est bien la borne supérieure des longueurs des polygones non croisés inscrits dans ce cercle).

On peut même trouver pour tout réel supérieur ou égal à 2p une suite de lampions dont l'aire tend vers ce réel.

Voir aussi le tore plat, autre contre-exemple polyédrique.
 
 
 

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© Robert FERRÉOL 2007