exemple : la bipyramide à base triangulaire et faces régulières
(sommets
de degré 3 ou 4),
et plus généralement, tous les deltaèdres.
| polyèdre suivant | polyèdre précédent | courbes 2D | courbes 3D | surfaces | fractals | polyèdres |
POLYÈDRE RÉGULIER
Regular polyhedron, reguläres Polyeder
| Autre nom : solide de Platon, ou platonicien.
site : http://www.srcf.ucam.org/~rjw62/polyhedra/entry/platonicsolids.html |
Un polyèdre est dit régulier si toutes ses faces sont des polygones réguliers de même type et si tous ses sommets sont de même degré.
CNS :
- polyèdre semi-régulier
dont les faces sont de même ordre
- polyèdre semi-régulier
de deuxième espèce dont les sommets sont de même
degré.
Attention : un polyèdre dont toutes les faces sont
des polygones réguliers de même type n'est pas forcément
régulier ;
exemple : la bipyramide
à base triangulaire et faces régulières(sommets
de degré 3 ou 4),
et plus généralement, tous les deltaèdres.
Un polyèdre régulier possède les régularités suivantes :
Concernant les faces
1a) toutes les faces ont même
ordre
1b) toutes les faces ont la même
aire
1c) toutes les faces sont isométriques
1d) toutes les faces sont régulières
Concernant les sommets
2a) tous les sommets ont même
degré
2b) les angles solides aux sommets
sont tous égaux
2c) tous les sommets sont isométriques
en ce sens que les figures formées par les demi-droites issues de
chaque sommet sont isométriques.
3c) tous les sommets sont réguliers
(les angles des faces arrivant en un même sommet sont égaux)
Concernant les arêtes
3a) toutes les arêtes ont même
longeur
2b) tous les angles dièdres
sont égaux
Bon exercice : quels sous-ensembles de conditions ci-dessus caractérisent les polyèdres réguliers ?
Un polyèdre régulier (avec la définition des polyèdres donnée dans ce site) est convexe, inscriptible et circonscriptible (plus précisément, il possède une sphère tangente à chaque face en son centre).
Il existe à similitude près cinq polyèdres
réguliers (théorème de Platon) :
Rem : le code de Schläfli
de chaque sommet d'un polyède régulier est le même,
et de la forme pq (q p-gones arrivant à
chaque sommet)
et on désigne par symbole de Schläfli, qui se généralise
aux dimensions supérieures, la notation légèrement
différente : {p, q].
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code et symbole de Schläfli |
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| tétraèdre régulier | 33 {3,3} | 4 triangles | 12 de degré 3 | 6 | autodual |  |
| cube | 43 {4,3} | 6 carrés | 8 de degré 3 | 12 | dual de l'octaèdre |
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| octaèdre (régulier) | 34 {3,4} | 8 triangles | 6 de degré 4 | 12 | dual du cube |  |
| dodécaèdre (régulier) | 53 {5,3} | 12 pentagones | 20 de degré 3 | 30 | dual de l'icosaèdre |
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| icosaèdre (régulier) | 35 {3,5} | 20 triangles | 12 de degré 5 | 30 | dual du dodécaèdre |
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Il est remarquable que la donnée du symbole de
Schläfli {p , q} et de la longueur d'arête a définissent
entièrement le polyèdre régulier.
Ci desssous les formules donnant
On peut exprimer par des formules communes les mensurations
des 5 polyèdres réguliers, en fonction de la longueur de
l'arête a, de l'ordre n des faces et du degré
p
des sommets :
| Nombre de sommets | Nombre d'arêtes | Nombre de faces |
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| Diamètre de la sphère inscrite | Diamètre de l'intersphère (tangente aux arêtes) | Diamètre de la sphère circonscrite |
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| Angle dièdre entre deux faces adjacentes | Aire totale | Volume |
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Il existe encore 4 polyèdres généralisés réguliers , dits "polyèdres réguliers étoilés", ou "polyèdres de Képler-Poinsot".
Pour d'autres généralisation, voir les polyèdres
semi-réguliers, les polychores
réguliers.
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© Robert FERRÉOL 2010