Polyèdres étudiés par Catalan en 1862. Autres noms : isoèdre, polyèdre isoédrique.

Un polyèdre semi-régulier de seconde espèce est un polyèdre à sommets réguliers et "faces-transitif", c'est-à-dire, tel que pour tout couple de faces, il existe une isométrie de l'espace conservant globalement le polyèdre et transformant une face en l'autre. Autrement dit, le groupe des isométries du polyèdre agit transitivement sur l'ensemble des faces.
Plus concrètement, cela se traduit par le fait que si l'on fabrique un boîte moulant entièrement le polyèdre, celui-ci pourra toujours y être rangé en plaçant l'une de ses faces au hasard (attention, les faces ne sont par contre pas forcément régulières, il faudra peut-être tourner la face sur elle-même pour qu'elle s'encastre).
Cela se traduit aussi physiquement par le fait que si l'on lance un dé polyédrique semi-régulier de seconde espèce homogène, chaque face est équiprobable.

Les polyèdres semi-réguliers de seconde espèce sont les polyèdres;duaux des polyèdres semi-réguliers, le dual étant obtenu par polarité par rapport à une sphère centrée au centre du polyèdre semi-régulier.

Cette définition implique les propriétés suivantes
Un polyèdre semi-régulier de seconde espèce est convexe, circonscriptible (existence d'un point équidistant des faces), et
    - concernant les faces :
        1) toutes les faces sont isométriques entre elles (il est monoédrique)
    - concernant les sommets :
        2) tous les sommets sont réguliers (tous les angles des faces arrivant à un même sommet sont égaux)
    - concernant les arêtes :
        3) tous les angles dièdres sont égaux

Une condition nécessaire et "quasi"- suffisante pour qu'un polyèdre convexe soit semi-régulier de seconde espèce est
    1) d'avoir des faces isométriques entre elles (être monoédrique)
    2) d'avoir des sommets réguliers
    3) d'être circonscriptible

Un seul polyèdre vérifie ces 3 propriétés sans être semi-régulier de seconde espèce : le dual du gyro-rhombicuboctaèdre.

Il existe deux familles infinies de polyèdres semi-réguliers de seconde espèce : les diamants à sommets réguliers et les antidiamants à sommets réguliers ; il reste exactement 16 autres polyèdres semi-réguliers de deuxième espèce, à isométries près : les 3 polyèdres réguliers de Platon restants (l'octaèdre étant un diamant et le cube un antidiamant), et les 13 polyèdres de Catalan.

Voici les premiers diamants et antidiamants semi-réguliers de seconde espèce :

triangulaires	carrés	pentagonaux	hexagonaux
	octaèdre	À ne pas confondre avec la bipyramide pentagonale à faces régulières dont les angles dièdres ne sont pas égaux :
cube

Voir plus généralement les monoèdres, polyèdres à faces isométriques.
 

polyèdre suivant

polyèdre précédent

courbes 2D

courbes 3D

surfaces

fractals

polyèdres

© Robert FERRÉOL 2023