Un tetraèdre est un polyèdre à 4 faces (ou 4 sommets), nombre minimal possible ; il n'en existe qu'un seul type, équivalent au tétraèdre régulier dont voici la carte de visite :
 
 

Famille	polyèdres réguliers également pyramides
Historique	découvert avant ou après le cube ????
Dual	lui-même ¬ dual polaire du tétraèdre par rapport à sa sphère circonscrite
Faces	4 triangles
Sommets	4 sommets de degré 3, de code de Schläfli 33
Arêtes	6 arêtes de longueur a ; angle dièdre : rd, soit 70° 31' 44"
Patrons
Graphe (diagramme de Schlegel)	graphe complet d'ordre 4 K4 :
Diamètres	sphère inscrite :  ; intersphère (tangente aux  arêtes) : ; sphère circonscrite :  .
Mensurations	volume :   aire :  coefficient isopérimétrique : .
Coordonnées  des sommets	() avec un nombre pair de signes - (ou un nombre impair), tous les sommets étant reliés entre eux.
Construction	troncature maximale d'un sommet du cube sur deux :
Plans de symétrie	6 plans médiateurs, passant par les 6 arêtes.
Axes de rotation	les 4 hauteurs  ( 2 rotations d'ordre 3 par axe) les 3 médianes, joignant les milieux de 2 arêtes opposées (une rotation d'ordre 2  par axe). Noter que d'après la figure ci-contre, la carré est donc le projeté d'un tétraèdre régulier !
Groupe des isométries	ordre 24 : 12 rotations (l'identité, 8 tiers de tours, 3 demi-tours) et 12 antirotations (produits des précédentes par la symétrie de centre O, dont 3 réflexions) Ce groupe est isomorphe à S4 (action simple et transitive sur les 4 sommets, ou les 4 faces).
Polyèdres dérivés	par troncature forte : octaèdre ; par troncature faible : tétraèdre tronqué ; par chanfreinage : cuboctaèdre ; par adoucissement : icosaèdre ; par augmentation : triaki-tétraèdre .
Avatars	le tétraèdre de Sierpinski, le tétraèdre de Reulaux, la surface de Kümmer.

 

Le tétraèdre régulier donne une réponse au problème dit "des dictateurs ennemis" dans le cas n = 4 : quel est la taille maximale de n calottes sphériques identiques (les états de chaque dictateur) de sorte qu'elles puissent se répartir sur une sphère sans se chevaucher, et quelle est alors leur disposition ? Réponse : les 4 calottes maximales ont un angle au centre de rd, soit 109° 28' 16" et sont centrées aux sommets d'un tetraèdre régulier. Les états occupent alors 61 % de la surface totale. Sources : Marcel Berger, pour la Science 176, p. 72 et dossier Pour la Science 41 p. 40. La figure ci-contre montre également que le squelette de l'octaèdre régulier fournit, par projection sur la sphère circonscrite, un pavage régulier de la sphère par 4 triangles équilatéraux sphériques.

 

Le tétraèdre et son symétrique par rapport à son centre forment un polyèdre composé appelé stella octangula par Képler ; ses sommets sont ceux d'un cube et la partie commune est un octaèdre.
La surface de Cayley : pour  fournit un beau tétraèdre aus arêtes arrondies. Voir plus généralement les surfaces cubiques ayant les symétries du tétraèdre à surface de Goursat.

Voir aussi la généralisation au simplexe.
 

polyèdre suivant

polyèdre précédent

courbes 2D

courbes 3D

surfaces

fractals

polyèdres

© Robert FERRÉOL 2011