Si ,  le tore plat d'ordre n est formé des n faces triangulaires (rouges ci-dessus), des n faces  isométriques aux précédentes (bleues ci-desssus), et des n faces rectangulaires (transparentes ci-dessus) .

Un polyèdre plat est un polyèdre non convexe tel que la somme des angles des faces aboutissant à chaque sommet est égale à 360° ; l'appellation plat vient de ce que si un tel polyèdre était convexe, les faces aboutissant à chaque sommet devraient être coplanaires (et ce ne serait donc pas un polyèdre au sens classique).

On remarquera que dans le polyèdre ci-dessus, dont les faces ne se croisent pas seulement à partir de n = 7, les cinq angles aboutissant à chaque sommet ont bien une somme de 360°, car il y en a 3 qui sont les trois angles d'un même triangle, et les deux autres sont droits.

Si l'on désigne par courbure d'un sommet le nombre 360° – la somme des angles des faces y aboutissant, on montre que la somme des courbures des sommets est égale à 360° fois la caractéristique d'Euler-Poincaré de la surface du polyèdre.

Un polyèdre plat doit donc avoir une caractéristique d'Euler-Poincaré nulle, et ne peut donc qu'être toroïdal.

Le tore plat d'ordre 5 n'est pas un vrai polyèdre car les faces se croisent, mais possède une certaine esthétique..

polyèdre suivant

polyèdre précédent

courbes 2D

courbes 3D

surfaces

fractals

polyèdres

© Robert FERRÉOL  2008