La Gournerie

Traité de géométrie descriptive

Surfaces d’ombre et de pénombre

Généralités

Une source lumineuse non ponctuelle éclaire un objet

Au-delà de l’objet l’espace se divise en une région entièrement éclairée (lumière), une région partiellement éclairée (pénombre) et une région non éclairée (ombre)

Première étude

Source lumineuse = une ellipse C1

Objet éclairé = un cercle C2

Ellipse et cercle sont dans des plans horizontaux, leurs centres sur une verticale

Premières considérations

Les plans tangents à C1 et C2 appartiennent à 2 familles, selon que C1 et C2 sont d’un même côté ou de part et d’autre du plan considéré

La première famille a pour enveloppe une surface S1 qui définit la zone d’ombre

La deuxième a pour enveloppe une deuxième surface S2 qui (avec S1) définit la zone de pénombre

Ces deux surfaces sont en fait deux nappes de la surface développable S définie par C1 et C2

Etude de la développable S

Outre C1 et C2, elle possède deux autres ensembles de points doubles qui sont deux courbes du 2e degré (réelles ou imaginaires), contenues dans les plans verticaux définis par les deux axes de l’ellipse. Soient C3 et C4 ces deux coniques. Il n’y a pas d’autres points doubles.

Tout couple (Ci, Cj, i≠j) définit complètement la surface.

Chaque génératrice (de la nappe S1 comme de la nappe S2) coupe C1, C2, C3, C4 en M1, M2, M3, M4 respectivement ; elle est en outre tangente en R à l’arête de rebroussement.

Le rapport « anharmonique » (M1M3/M1M4) : (M2M3/M2M4) est constant.

La surface est du 8e degré si on coupe la surface par un plan contenant une génératrice, l’intersection est composée de cette génératrice et d’une courbe. La génératrice et la courbe ont en commun les 4 points M1, M2, M3 et M4 (points doubles de la surface) et le point R sur l’arête de rebroussement. Le point R doit être compté 3 fois car c’est un point de rebroussement pour la courbe et elle admet la génératrice comme tangente en ce point). La courbe est donc du 7e degré et la surface du 8e.

Je vais poursuivre cette étude mais il y a déjà des remarques intéressantes

Tout couple (Ci, Cj) autre que (C1, C2) est composé de deux coniques situées dans des plans orthogonaux, ce qui nous rapproche de l’oloïde (dans son cas particulier les deux coniques autres que les cercles sont imaginaires)

La Gournerie souligne que certaines propriétés ci-dessus sont projectives et restent donc valables lorsque les deux coniques originelles sont dans des plans quelconques

A suivre…

La Gournerie

robs

2005-04-24

labo