1) Cas d'une famille de surfaces à un paramètre.
 

Si (St) est définie par l'équation cartésienne (1) : f(x, y, z, t) = 0, l'équation de l'enveloppe s'obtient en éliminant t entre (1) et l'équation (2) : . Si (St) est définie paramétriquement par (M(u,v,t))u,v , la résolution de  donne, par élimination d'un des paramètres u,v,t, la paramétrisation de l'enveloppe.

L'enveloppe d'une famille de surfaces à un paramètre (S_t) est la surface (S) réunion des courbes caractéristiques (G_t) des surfaces (S_t), courbes limites quand t' tend vers t des courbes intersections de (S_t) avec (S_t') ; la surface (S) est tangente en chacun de ses points à une surface (S_t) et "en général", toute surface S_t est tangente suivant une courbe à (S) ; les cas restrictifs sont les suivants :
    - sur un intervalle, les surfaces (S_t) passent par une courbe fixe, auquel cas, cette courbe appartient à l’enveloppe.
    - les surfaces n'ont pas d'intersection entre elles (par exemple des sphères concentriques, ou des surfaces dont les points d'intersection sont imaginaires).

La famille des courbes caractéristiques (G_t) possède alors en général une enveloppe, qui est l'arête de rebroussement de la surface.
Avec les notations ci-dessus dans le cas paramétrique, la condition  étant symétrique en u,v et t, les deux enveloppes des surfaces (S'_u) lieux des points (M(u,v,t))_u,t et des surfaces (S''_v) lieux des points (M(u,v,t))_v,t sont les mêmes que celle des surfaces (S_t) ; l'enveloppe commune est en fait le lieu des points où les surfaces des trois familles sont tangentes suivant une courbe.

Lorsque les surfaces (S_t) sont des plans, la courbe caractéristique est une droite qui reste tangente à l'arête de rebroussement de l'enveloppe (S) (qui est alors une surface réglée développable).

Autres exemples : les cyclides de Dupin et les tubes, qui sont des enveloppes de sphères.
 

2) Cas d'une famille de surfaces à deux paramètres.
 

Si (St,t') est définie par l'équation cartésienne (1) : f(x, y, z, t, t') = 0, l'équation de l'enveloppe s'obtient en éliminant t et t' entre (1) , (2) :  et (3) : . Si (St;t') est définie paramétriquement par (M(u,v,t, t'))u,v , la résolution de ??? (condition pour que ces 4 vecteurs soient coplanaires) donne, par élimination de deux des paramètres u,v,t,t' la paramétrisation de l'enveloppe.

L'enveloppe d'une famille de surfaces à deux paramètres (S_t,t') est la surface (S) engendrée par les points caractéristiques  des surfaces (S_t,t'), points limites quand (t₁ ,t'₁) tend vers (t ,t') des  intersections de (S_t,t') avec (S_t1,t'1) ??? ; la surface (S) est tangente en chacun de ses points à une surface (S_t,t') et "en général", toute surface (S_t,t') est tangente en au moins un point à (S).

Avec les notations ci-dessus dans le cas paramétrique, la condition  étant symétrique en u,v,t,t', l'enveloppe des (S_t,t')  est aussi l'enveloppe de  3 autres familles à deux paramètres ; l'enveloppe commune est en fait le lieu des points où les surfaces des 4 familles sont tangentes.
 
 

surface suivante

surface précédente

courbes 2D

courbes 3D

surfaces

fractals

polyèdres

© Robert FERRÉOL 2007