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SURFACE RÉGLÉE
Ruled surface, Regelfläche


Cours en ligne : www.geothalg.ulg.ac.be/cours1C/node161.html

 
Caractérisation différentielle : .
Paramétrisation cartésienne : , réunion des génératrices D passant par  et dirigées par  (en simplifié : ); cône directeur : .

On définit alors le paramètre de distribution d de la génératrice passant par M1 par .
et la surface est dite dextre si  , senestre si  ; elle est développable ssi = 0.
Le paramètre de distribution s'interprète géométriquement comme le nombre  où  est la distance entre D et Du+du  et , l'angle entre D et Du+du  .
Voir une autre interprétation de ce paramètre, et la formule donnant la courbure à la page ligne de striction.

Une surface réglée est une surface qui est réunion de droites, appelées ses génératrices. On lui associe son cône directeur, réunion des droites passant par un point donné et parallèles aux génératrices.

Par trois courbes passe en général une unique surface réglée, réunion des droites rencontrant ces trois courbes. Si les trois courbes sont algébriques de degrés respectifs p,q,r, la surface est "en général" algébrique de degré 2pqr.
 
 
La famille des droites s'appuyant sur deux courbes données n'engendre en général pas une surface ; mais c'est le cas si l'on rajoute une condition supplémentaire, comme : Les exemples ci-dessous montrent diverses surfaces réglées s'appuyant sur un demi-cercle et une demi-ellipse
1) les droites doivent rencontrer une troisième courbe donnée (donc famille des droites s'appuyant sur 3 courbes)

la troisième courbe est une droite
2) elles doivent être parallèle à un plan "directeur" donné (surface de Catalan)
3) la surface est développable (donc enveloppe de la famille des plans tangents communs aux deux courbes, plans obtenus en prenant une tangente à une courbe, et une tangente à l'autre, sécante à la première)
4) la distance entre les deux points de contact est constante (voir les exemples du berlingot et de l'oloïde)

Les points d'une surface réglée sont hyperboliques ou paraboliques ; lorsqu'un point est parabolique, tous les points de sa génératrice le sont et ont le même plan tangent : la génératrice est dite parabolique ; ceci arrive lorsqu'elle est tangente à la ligne de striction et correspond au cas où le paramètre de distribution est nul.

Exemples :
 - les cônes, les cylindres, et plus généralement les surfaces développables (cas où toutes les génératrices sont paraboliques).
 - les conoïdes (dont le paraboloïde hyperbolique) et plus généralement les surfaces de Catalan (cône directeur plan) ou les surfaces conoïdales.
 - les hyperboloïdes à une nappe.
 - les hélicoïdes réglés (dont líhélicoïde droit et líhélicoïde développable).
- la surface de Möbius et plus généralement les surfaces réglées de Cayley.
- la surface d'Hector Guimard.
- des exemples de surfaces de Seifert.

Les quadriques propres réglées sont les surfaces réunions des droites rencontrant trois droites deux à deux non coplanaires : paraboloïde hyperbolique dans le cas où les trois droites sont parallèles à un plan fixe et hyperboloïde à une nappe dans l'autre cas ; ce sont les seules surfaces doublement réglées (i.e. qui sont réunion de deux familles de droites distinctes).

Les surfaces cubiques réglées sont les cônes et cylindres de directrice une cubique, les surfaces conoïdales du 3ème degré et les surfaces réglées de Cayley.

Les surfaces de révolution réglées sont les hyperboloïdes à une nappe.

Voir aussi leurs cousines les surfaces cerclées.
 
 

Palissades à La Villette, Paris (2014)

Caténaires midi formant d'élégantes surfaces réglées

 
 
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© Robert FERRÉOL  2011, Robert March 2003