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DOUBLE-SIX (DE SCHLÄFLI), et EIKOSIHEPTAGRAMME
Schlafli's doublesix, Schläflis Doppelsechs



 
Ludwig Schläfli (1814-1895) : mathématicien suisse.
Autre nom : double sixain.

Un double-six est un ensemble de 12 droites de l'espace projectif de dimension 3, dont la notation habituelle, due à Schläfli, est matricielle :

et ayant la propriété que deux parmi ces 12 droites sont sécantes si et seulement si elles ne sont pas placées dans la même ligne ni la même colonne.

Le nombre six est la valeur maximale de n telle qu'un ensemble de 2n droites ait cette propriété (démonstration de ce fait).

Pour construire un double-six, on peut partir d'une droite  ayant 5 sécantes  telles qu'aucune d'entre-elles ne soit incluse dans la quadrique engendrée par 3 des 4 autres droites.
Quatre droites parmi les 5 sécantes  ont  pour sécante commune et aussi une autre sécante commune : si {i, j, k, l, m}={1, 2, 3, 4, 5}, notons  la sécante commune autre que  à  ; on montre que  ne rencontre pas  : pour terminer le double-six il ne manque plus que la droite  : sécante commune à  ne rencontrant pas  : le théorème (difficile) du double-six affirme que cette droite existe.

Chaque droite du double-six en rencontre exactement 5 autres ; il y a donc  points d'intersection dans le double-six.
 
Les 30 couples de droites sécantes  engendrent 30 plans , et les 15 paires de plans  sont formées de plans se coupant suivant 15 droites .

 
 

Figure du double six avec les six droites  en bleu (notées i tout seul pour simplifier), et les six droites  (notées i') en rouge ; 

chaque droite rouge rencontre exactement 5 droites bleues et vice versa.

Cette vue affine a été choisie de sorte que les 6 plans 
   soient les 6 faces d'un cube.

De la sorte, les 3 droites  sont les 3 droites de l'infini des faces du cube.
 

 


 
 
Il existe une unique surface cubique lisse (S) contenant les 12 droites du double-six.

Pour le double-six représenté ci-dessus, où le cube choisi a pour sommets  etc, et la droite  passe par , la surface cubique a pour équation : .

 

Les 27 droites de cette surface sont les 12 droites du double-six (en rouge et bleu ci-contre) plus les 15 droites (en jaune) définies ci-dessus.

(mais rappelons que dans la représentation ci-contre, les 3 droites  sont les 3 droites de l'infini des faces du cube et que donc il n'y a que 12 droites jaunes visibles)

La figure que forment les 27 droites s'appelle l'eikosiheptagramme (eikosihepta = 27 en grec).
Dans cette configuration, chaque droite en rencontre exactement dix autres :
    - chaque droite jaune est sécante avec les 4 droites  rouges et bleues et avec les  droites  jaunes pour (démonstration de ce fait).
    - chaque droite rouge est sécante avec les 5 droites  bleues  et les 5 droites  jaunes.
Il existe donc  paires de droites non sécantes.

On montre alors qu'il existe dans l'eikosiheptagramme exactement 36 doubles-six :
    - le double-six de départ N.
    - les  doubles-six du type  dits "syzygétiques" à N
    - les  doubles-six du type , dits "azygétiques" à N.

Le groupe des permutations des 27 droites respectant les incidences des droites possède donc 6 ! . 2 . 36 = 51 840  éléments ; il est isomorphe au groupe de Weyl W(E6) et son sous-groupe des permutations paires est isomorphe au groupe projectif symplectique PSp4(F3) qui n'est pas simple.

Chacun des 30 plans  contient 3 droites de la surface (S) ( et): il est appelé plan tritangent (puisque tangent à la surface en 3 points).

Mais il existe, issus des doubles-six ci-dessus,  autres plans tritangents engendrés par les 15 trios de droites sécantes deux à deux :  ; on montre que ces 45 plans tritangents sont les seuls : chaque droite est commune à 5 plans tritangents.

Les incidences des divers éléments de l'eikosiheptagramme sont résumés dans le tableau ci-dessous :
 
....rencontre points  droites  plans tritangents double-six eikosiheptagramme
chaque point... 1 2 1 8 1
chaque droite... 10 10 5 16 1
chaque plan tritangent... 3 3 15 36 1
chaque double-six... 30 12 45 36 1
l'eikosiheptagramme... 135 27 45 36 1

 
Voici une vue du double-six principal de la surface de Clebsch.

 
Ceci n'est un double-six qu'en apparence : chaque droite bleue rencontre 5 droites rouges, mais aussi la sixième, à l'infini !

Dans un vrai double-six, il ne peut y avoir plus de 3 droites de chaque famille sur une même quadrique (voir cette figure)


 
WEBOGRAPHIE
Applet java pour le double-six, sur le même site : enriques.mathematik.uni-mainz.de/cubicsurface/background/background_frame.php3?shortname=doublesix
Modele en tiges du double-six : www.math.arizona.edu/~models/Wire_models/source/2.html


 

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© Robert FERRÉOL , Alain ESCULIER 2003