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LOXODROMIE DU TORE
 Torus loxodrome, Loxodrome des Torus


tore ouvert avec ses loxodromies


tore à trou nul
tore croisé

 
Voir TPE 96 maths 1

 
1ère méthode, en coordonnées toriques.
Équation différentielle : , pour le tore étant l'angle que font les loxodromies avec les parallèles.
Pour le tore ouvert (a > b) : .
La courbe est rationnelle (et est alors fermée) pour  rationnel, et lorsque m = 1, soit pour  ou encore , on obtient les cercles de Villarceau.
Pour le tore à trou nul (a = b) : .
Pour le tore croisé (a < b) : .
2ème méthode en coordonnées cylindriques.
Équation différentielle : , pour le tore .

Pour le tore ouvert (a > b) :  () ; les projections sur xOy sont donc des polygastéroïdes.
Pour le tore à trou nul (a = b) :  (inverse de spirale de Galilée).
Pour le tore croisé (a < b) :  avec ,.
 


 
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© Robert FERRÉOL  2014