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DUAL D'UN POLYCHORE
Dual of a polychoron, Dual eines Polychors

Si (P) est un polychore (polytope de dimension 4), notons  l'ensemble formé des ensembles des sommets de toutes les k-cellules de (P) , pour k allant de 1 à 4 (la (1)-cellule étant par convention l'ensemble vide) ;
deux polychores (P) et (P*) sont alors dits combinatoirement duaux s'il existe une dualité de  dans , c'est-à-dire une bijection envoyant les k-cellules de l'un sur les (3 k 1) cellules de l'autre qui renverse les inclusions (autrement dit, si C1 est une cellule de C2, elle-même cellule de (P) , C2* est une cellule de C1* (l'existence d'une bijection conservant les types de cellules et leurs inclusions signifiant l'équivalence combinatoire des polytopes).
Dans une dualité, les sommets de l'un des polychores corespondent donc aux cellules de l'autre, et les arêtes aux faces de l'autre.
Un dual d'un dual est un polychore équivalent au polychore de départ.
 
Une première méthode pour déterminer un dual d'un polychore est de choisir un point dans chaque cellule (son "centre"), et de relier par une arête deux points situés dans des cellules contiguës ; les faces du dual sont alors celles qui sont bordées par des arêtes joignant des "centres de cellules aboutissant à la même arête du polychore de départ  ; il faut pour cela que ces arêtes soient coplanaires et que donc les centres choisis dans toutes les cellules aboutissant à une même arête soient toujours coplanaires ; ceci est réalisé si les arêtes du polychore de départ sont de degré 3, ou si le polychore est régulier (en choisissant dans chaque cellule le centre de celle-ci).

Une deuxième méthode, valable pour tout polychore convexe utilise la polarité par rapport à une hypersphère :

Considérons une polarité (ou dualité) par rapport à une sphère centrée en un point intérieur au polychore (P) ; à tout sommet du polychore de départ correspond par cette polarité un 3-espace qui définira une cellule du polyèdre dual polaire (P*), les sommets de cette cellule étant les points image par la dualité des 3-espaces contenant les cellules qui aboutissent au sommet de départ.
 
Les 3-espaces contenant les cellules du dual polaire (P*) d'un polyèdre inscriptible (P) obtenu par polarité par rapport à l'hypersphère circonscrite sont  les 3-espaces tangents à l'hypersphère passant par les sommets de (P) ; inversement, les sommets du dual d'un polychore circonscriptible sont les points de tangence avec la sphère inscrite.

Les arêtes de (P) sont orthogonales aux faces du dual polaire, et réciproquement.
 
 
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© Robert FERRÉOL 2009