Paramétrisation complexe : , soit  où a est le rayon du cercle de base, b = a / q  celui du cercle roulant et d = k b la distance du point au centre du cercle mobile. Paramétrisation cartésienne : . Paramétrisation polaire : . Aire englobée par la courbe dans le cas  entier et  :  (obtenue par le théorème de Holditch).

Les épitrochoïdes sont les courbes décrites par un point lié à un cercle (C) roulant sans glisser sur un cercle de base (C0), les disques ouverts de frontières (C) et (C0) étant disjoints ; ce sont donc les courbes que l'on obtient avec un spirographe avec disque externe.

Autrement dit, ce sont aussi les roulettes d'un mouvement plan sur plan dont la base est un cercle et la roulante un cercle extérieur au premier.

Pour d = b, soit k = 1, on obtient les épicycloïdes.
Pour d = a + b, on obtient les rosaces .

Pour k < 1, la courbe s'appelle aussi épicycloïde raccourcie.
Pour k > 1, la courbe s'appelle aussi épicycloïde allongée.
 
 

Toute épitrochoïde est aussi une péritrochoïde (propriété dite "de double génération") : cercle fixe de rayon , cercle mobile de rayon  et distance du point au centre du cercle mobile d' = a + b.

Voici les différentes formes en fonction des valeurs de k.
 

Il est remarquable que pour , l'épicycloïde raccourcie tourne constament sa concavité vers le centre (ci-contre, cas q = 3, k = 1/8). D'après cet article, c'est le cas de la trajectoire de la lune par rapport au soleil, pour laquelle . Notons que pour la trochoïde rectiligne, il y a toujours des changements de concavité.
Le cas limite est  ; il y a alors un méplat.
Pour , la courbe ondule, avec des points d'inflexion.
Pour k = 1, on obtient l'épicycloïde, avec des points de rebroussements.
Pour , la courbe fait des boucles, avec des portions concaves et convexes, (vitesse angulaire positive, puis négative alternativement).
Pour  k = q + 1 (soit d = a + b)), on obtient une rosace d'indice n < 1 , d'équation polaire .
Cas k > q – 1.

 

On peut aussi définir les épitrochoïdes comme les trajectoires d’un mouvement qui est composé de deux mouvements circulaires de même sens et de vitesses angulaires distinctes, de paramétrisation complexe :  () ; ce sont des épicycloïdes si , des épicycloïdes allongées si  des épicycloïdes raccourcies si (on peut alors prendre , , d = r2, donc ).	Le premier bras a une vitesse angulaire (par rapport au plan fixe) quadruple de celle du deuxième : on obtient une épitrochoïde de paramètre q = 4 - 1 = 3.
L'écriture donne l'interprétation suivante des épitrochoïdes : si deux corps sont en rotation uniforme et de même sens dans un plan fixe, la trajectoire apparente de l'un dans un plan lié au deuxième et en translation par rapport au plan fixe est une épitrochoïde.
En approximant les mouvements des planètes autour du soleil à des mouvements circulaires uniformes et coplanaires, on peut donc considérer que les trajectoires apparentes des planètes les unes par rapport aux autres sont des épitrochoïdes. Ces trajectoires étaient appelées des épicycles (voir aussi cette animation). Ci-contre, esquisse réalisée par Kepler dans l'Astronomia nova, représentant l'évolution des lacets de l'orbite de Mars depuis la terre.

Forme des courbes dans les différents cas :
 

Valeur de q	Valeur de
1	2	limaçons de Pascal
2	3
3	4
4	5
5	6
3/2	5/2
4/3	7/3

Les épitrochoïdes sont aussi des projections planes des courbes de Caparéda, ou courbes des satellites, ainsi que des courbes de précession constante.

Les épitrochoides réunies avec les hypotrochoïdes constituent les trochoïdes à centre (voir aussi une généralisation sur le lien précédent).

Voici diverses épitrochoïdes passées en 3D et nouées :

q = 3, entrelacs 9.2.24	q = 3, noeud 9.1.40	q = 3/2, entrelacs à 12 croisements	q = 4, voir cette page
q = 4, noeud à 12 croisements	q = 5, entrelacs à 15 croisements	q = 5/2, noeud 5.1.1	q = 3/2 et q =3 entrelacées, entrelacs à 15 croisements

 

Courroie d'engrenage, mise en forme d'épitrochoïde  par Lévi Capareda pendant un cours de sciences industrielles...	p = 4, k = 4		p = 4, k = 4
	Idem avec q = 2 (folium de Dürer)

 

Ce motif d'une tapisserie arabe a la même structure que l'épitrochoïde avec p = 8, k = 5 (tourner d'un seizième de tour).

 

courbe suivante

courbe précédente

courbes 2D

courbes 3D

surfaces

fractals

polyèdres

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