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NOEUD, ENTRELACS DE BRETZEL
Pretzel knot, link, Brezelknoten, Brezelverschlingung

Un B(1,1,1)

Un B(3,-2,-2,2)  réalisé par Sandjer, pâtissier à bretzel love.

 
Wikipedia anglais

 
 
Appelant "enlacement d'ordre p" un enlacement à |p| croisements de deux hélices circulaires, tournant dans le sens, trigonométrique si p est > 0, contraire sinon, l'entrelacs de bretzel est l'entrelacs obtenu en reliant entre eux des enlacements d'ordres , circulairement, et dans le sens trigonométrique.
Enlacement d'ordre 5

Enlacement d'ordre -5
Entrelacs de bretzel B(2,-3,4), 
formé de deux brins.
On peut aussi caractériser les entrelacs de bretzel par le fait que leur graphe associé possède n sommets placés en cercles avec une succession d'arêtes multiples d'ordres  (les  arêtes étant toutes du signe de ).

Par exemple, le graphe bleu ci-contre est associé à B(3,2,2).

Le nombre de brins est égal au nombre de  qui sont pairs, s'il y en a au moins un de pair. Si tous les  sont impairs, il y a un ou deux brins suivant que n est impair ou pair.

Si tous les  sont positifs, l'entrelacs est alterné avec  croisements.

Les 6 premiers noeuds premiers peuvent être vus comme des noeuds de bretzel à coefficients > 0 :
 
Noeud de trèfle 3.1.1 :  ou B(a,b), a+b=3 Noeud de huit 4.1.1 :  Noeud 5.1.1 :  ou B(a,b), a+b=5


Noeud 5.1.2 :  ou
  Noeud d'arrimeur 6.1.1  :  ou   Noeud 6.1.2 : 


Ce n'est par contre pas le cas du suivant (6.1.3) : .
Pour n impair, le noeud de bretzel  avec n "1" est équivalent au noeud torique T(n,2).

Les six premiers entrelacs premiers sont eux aussi obtenables comme entrelacs de bretzel à coefficients > 0:
 
Entrelacs de Hopf 2.2.1 : B(1,1) Noeud de Salomon 4.2.1: B(1,1,1,1) ou B(2,2) ou B(a,b), a+b = 4 Entrelacs de Whitehead 5.2.1 : B(1,2,2)

6.2.3 : B(2,1,2,1) ou B(2,2,1,1)
6.2.2 : B(3,1,1,1)
 Sceau de Salomon 6.2.1 : B(1,1,1,1,1,1) ou B(a,b), a+b=6


L'entrelacs 6.3.2 (anneaux de Borromée) n'est pas un bretzel, mais 6.3.1 est B(2,2,2) : 
 
Lorsque certains sont < 0, le nombre de croisements minimal est inférieur ou égal au nombre de croisements apparent ; par exemple, le noeud de bretzel B(2,–1,–1) ci-contre est en fait un noeud de trèfle à 3 croisements, et le noeud B(2,1,–1) est carrément trivial.

La troisième vue montre le noeud B(2,–3,–3) qui a huit croisements apparents et a bien huit pour nombre minimal de croisements, voir la page du 8.1.19.

Une vraie bretzel alsacienne !


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© Robert FERRÉOL  2016