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LIGNE BRACHISTOCHRONE D'UNE SURFACE
Brachistochrone
line of a surface, Brachistochronelinie einer Fläche
Notion étudiée par Roger en 1848.
Du grec brakhisto "le plus court" (s'écrit donc avec un i et non un y) et chronos "temps". Voir : Paul Appell : cours de mécanique rationnelle, page 482 à 485. |
Équation différentielle : |
Une ligne brachistochrone
d'une surface est une courbe sur laquelle doit glisser sans frottement
un point matériel pesant placé dans un champ de pesanteur
uniforme de sorte que le temps de
parcours soit minimal parmi toutes les courbes joignant
deux points de la courbe, quels que soient les choix de ces deux points.
Autrement dit, ce sont les lignes les plus courtes en
temps, alors que les géodésiques
sont les lignes les plus courtes en distance.
Voici la provenance de l'équation différentielle
ci-dessus :
La conservation de l'énergie donne ,
soit
: le temps de parcours entre A et B est donc
; et l'on montre par les équations de Lagrange que les courbes minimisant
une intégrale
sont solutions de
.
Exemples (à comparer avec les géodésiques correspondantes) :
- les lignes brachistochrones d'un plan non horizontal sont les cycloïdes d'axe de pente maximum (voir brachistochrone pour le cas du plan vertical).
- les lignes brachistochrones d'un
cylindre vertical quelconque sont les courbes se développant en
des cycloïdes d'axe vertical.
Des brachistochrones de cylindre de révolution : |
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Des brachistochrones de cône de révolution : |
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Une brachistochrone sphérique : |
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© Robert FERRÉOL 2004