Paramétrisation cartésienne :  p, q, r entiers > 0 premiers entre eux.

Les noeuds de Lissajous sont les noeuds associés aux courbes de Lissajous 3D lorsqu'elles sont fermées et sans point double.

Comme démontré dans l'article de Jones et Przytycki ci-dessus, ce sont aussi les noeuds associés aux trajectoires d'une boule (non soumise à la pesanteur) dans un billard parallélépipédique, ou même cubique (imaginer une boîte en verre).

On peut montrer que pour toutes valeurs  de p, q, r, il existe des valeurs de j et y telles que le noeud soit trivial, et que certains noeuds comme le noeud de trèfle ne sont pas des noeuds de Lissajous.

Lorsque p et q sont premiers entre eux,  et on obtient le noeud de billard rectangulaire de type (p,q), à r croisements.

Par exemple, les 3 noeuds de Lissajous représentés ci-dessus ont pour paramétrisation : ,  et .
Le premier d'entre eux est le 4ème noeud premier à 7 croisements, noté 7₄, et plus généralement, la courbe  est, pour n non multiple de 3 un noeud à 5n – 3 croisements avec alternance dessus-dessous.
Idem pour la courbe  pour n impair, qui est un noeud à 3n – 2 croisements.

On trouve sur cette page une liste de noeuds de Lissajous remarquables ; la paramétrisation canonique utilisée dans cette liste est .
 

Voici un joli cas de noeud ouvert :  Il n'y a plus qu'à relier les extrémités pour obtenir un noeud de trèfle.

On peut généraliser à un billard 3D de forme polyédrique convexe. On obtient ainsi tous les noeuds possibles, même en se restreignant aux billards en forme de prisme régulier droit (Koseleff et Pecker).

courbe suivante

courbe précédente

courbes 2D

courbes 3D

surfaces

fractals

polyèdres

© Robert FERRÉOL  2015