COURBE DU C (ou COURBE DE LÉVY) C curve (or Levy's curve), C-Kurve (oder Levysche Kurve)

La courbe du C est l'attracteur dans le plan de deux similitudes directes de centres distincts A et B, de rapport  et d’angles  ; sa dimension fractale est donc  ; on montre que sa dimension est exactement 2, mais que sa frontière a pour dimension environ 1,9340.

Voici la suite des compacts convergeant vers cette courbe, en partant de [AB] :
 

Regarder aussi l'arbre dont la courbe du C est le feuillage, et la définition de la courbe du C par L-système.

La courbe du C est la réunion quasi disjointe de deux copies d'elle-même ; il y a exactement six figures du plan ayant cette propriété.

Comme sa cousine la courbe du dragon, la courbe du C pave le plan.
Variantes :

Si l'on considère un triangle (ABC) isocèle rectangle en C, soit f une isométrie qui transforme [AB] en [AC] et g une isométrie qui transforme [AB] en [CB] ; suivant la nature de f et g, on obtient, comme attracteur de f et g, les diverses courbes suivantes :
 

A et B ont pour images respectives par f	A et B ont pour images respectives par g	de plus	Courbe associée
A et C	C et B	f et g sont directes	Courbe du C
A et C	B et C	f et g sont directes	Courbe du dragon
C et A	B et C	f et g sont directes	Courbe de Césaro (pour les étapes paires)
A et C	B et C	f et g sont indirectes	Courbe de Polya

(et on peut montrer que les diverses autres combinaisons avec f et g de même orientation redonnent l'une de ces 4 courbes)

Ci-dessous le dessin original de Paul Lévy paru dans son article de 1938.

Personnellement, j'aurais plutôt baptisé la courbe du C la "courbe du crabe", regardez :

fractal suivant

fractal précédent

courbes 2D

courbes 3D

surfaces

fractals

polyèdres

© Robert FERRÉOL 2010