fractal suivant fractal précédent courbes 2D courbes 3D surfaces fractals polyèdres

ESCALIER DU DIABLE
Devil's staircase, Teufelstreppe

Courbe découverte par Ludwig Scheeffer, élève de Cantor, en 1885.
La courbe de Bolzano-Lebesgue avait été découverte en 1830 par Bolzano, mais non publiée.
Autres noms : courbe, ou escalier de Cantor-Lebesgue.
Références historiques : ce lien.

 
Équation cartésienne : y = f(x) où la fonction f est définie sur [0, 1] comme suit : si le développement ternaire impropre de x ne comporte que des 0 ou des 2 (c'est-à-dire, si x appartient à l'ensemble de Cantor), alors f(x) est le nombre obtenu en changeant les chiffres 2 en des chiffres 1, nombre lu en base 2.
Si le développement ternaire de x contient un 1, alors f(x) = f(x'), x' étant le nombre obtenu en tronquant x après le premier 1 rencontré.
Code Maple :
escalier:=proc(a,b,c,d,n) local liste; 
if n=0 then liste:=[a,b],[c,d] else liste:= 
escalier(a, b, (2*a+c)/3, (b+d)/2, n-1), 
escalier((2*a+c)/3, (b+d)/2, (a+2*c)/3, (b+d)/2, n-1), 
escalier((a+2*c)/3, (b+d)/2, c, d, n-1) fi;
liste end:
plot([escalier(0,0,1,1,3)]);

On note E l'espace des fonctions continues f réelles sur [0,1], telles que f(0) = 0 et f(1) = 1, et T l'opérateur défini sur E par :

On montre aisément que T est une contraction de E, qui est complet pour la norme de la convergence uniforme ; T admet donc un point fixe, appelée fonction de Cantor-Lebesgue. L'escalier du diable est la courbe de cette fonction.

Cette fonction a été construite pour donner un exemple de fonction continue ayant une dérivée nulle presque partout (sur le complémentaire de l'ensemble de Cantor) et qui n'est cependant pas constante ; autrement dit, l'escalier du diable est ainsi nommé car il est continu, a presque partout une tangente horizontale, et pourtant il monte ! Inversement bien sur, la tangente est verticale en tout point dont l'abscisse appartient à l'ensemble de Cantor.

Si l'on part de f0(x) = x, la fonction fn = Tn(f) est l'unique fonction de E qui est constante sur chacun des intervalles constituant le complémentaire de l'ensemble de Cantor à l'étape n , noté Cn, et affine de pente (3/2)n sur chacun des intervalles de Cn.

Si l'on veut un escalier du diable approché qui soit droit, on peut procéder comme suit :

L'escalier du diable est aussi l'attracteur des trois contractions affines F, G, H définies par . Le n-ième compact associé à cette famille de contractions, en partant du segment [(0,0) (1,1)] n'est autre que la courbe de la fonction fn.

Généralisation :
Si pour t dans ]0,1[, on considère les trois contractions Ft , Gt , Ht définies par :
, on obtient un attracteur qui est l'escalier du diable pour t = 1/2, et la courbe de Bolzano-Lebesgue pour t = 2/3.

La généralisation de la contraction T ci-dessus est Tt, définie par :

Le point fixe ft de Tt a la propriété remarquable d'être une fonction continue nulle-part dérivable pour t > 1/2.
Cas t = 0.4
Courbe de Bolzano-Lebesgue, cas t = 2/3
Cas t = 0.9
Code Maple :
escalier:=proc(a,b,c,d,t,n) local liste; 
if n=0 then liste:=[a,b],[c,d] else liste:= 
escalier(a, b, (2*a+c)/3, (1-t)*b+t*d, t, n-1), 
escalier((2*a+c)/3, (1-t)*b+t*d, (a+2*c)/3, t*b+(1-t)*d, t, n-1), 
escalier((a+2*c)/3, t*b+(1-t)*d, c, d, t, n-1) fi; liste end:
plot([escalier(0,0,1,1,2/3,3)]);

Comparer avec la courbe du blanc-manger.

Voir aussi la courbe de Lebesgue, courbe définie à partir de la fonction de Cantor-Lebesgue.
 
 
fractal suivant fractal précédent courbes 2D courbes 3D surfaces fractals polyèdres

© Robert FERRÉOL 2019